Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{\sin (5 - x)}{x - 5}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 5} \sin (5 - x)}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 5} 5 - x)}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 5} 5 - lim_{x \to 5} x)}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.3

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{\sin (5 - lim_{x \to 5} x)}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{\sin (5 - 5)}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.4.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.4.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 5} \frac{\sin (5 - x)}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 5 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 - x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 - x]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 - x]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 - x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\cos (5 - x) \frac{d}{d x} [5 - x]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $5 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\cos (5 - x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\cos (5 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\cos (5 - x) \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\cos (5 - x) (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\cos (5 - x) (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\cos (5 - x) \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.9

Перенесем $- 1$ влево от $\cos (5 - x)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- 1 \cdot \cos (5 - x)}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.10

Перепишем $- 1 \cos (5 - x)$ в виде $- \cos (5 - x)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \cos (5 - x)}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.11

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \cos (5 - x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \cos (5 - x)}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.13

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \cos (5 - x)}{1 + 0}$

Этап 1.3.14

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \cos (5 - x)}{1}$

Этап 1.4

Разделим $- \cos (5 - x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 5} - \cos (5 - x)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 5} \cos (5 - x)$

Этап 2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- \cos (lim_{x \to 5} 5 - x)$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$- \cos (lim_{x \to 5} 5 - lim_{x \to 5} x)$

Этап 2.4

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$- \cos (5 - lim_{x \to 5} x)$

Этап 2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$- \cos (5 - 5)$

Этап 2.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$- \cos (0)$

Этап 2.5.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.5.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$