Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} (\frac{8^{3 x}}{x - 5}) + \frac{8^{15}}{x - 5}$

Этап 1

Объединим дроби, используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 5} \frac{8^{3 x} + 8^{15}}{x - 5}$

Этап 1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $8^{3 x}$ в виде ${(8^{x})}^{3}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{{(8^{x})}^{3} + 8^{15}}{x - 5}$

Этап 1.2.2

Перепишем $8^{15}$ в виде ${(8^{5})}^{3}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{{(8^{x})}^{3} + {(8^{5})}^{3}}{x - 5}$

Этап 1.2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 8^{x}$ и $b = 8^{5}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 8^{5}) ({(8^{x})}^{2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Возведем $8$ в степень $5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) ({(8^{x})}^{2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.2.4.2

Перемножим экспоненты в ${(8^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{x \cdot 2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.2.4.2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.2.4.3

Умножим $8^{x}$ на $8^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Перенесем $8^{5}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - (8^{5} \cdot 8^{x}) + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.2.4.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.2.4.4

Перемножим экспоненты в ${(8^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 8^{5 \cdot 2})}{x - 5}$

Этап 1.2.4.4.2

Умножим $5$ на $2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 8^{10})}{x - 5}$

Этап 1.2.4.5

Возведем $8$ в степень $10$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 1073741824)}{x - 5}$

Этап 1.2.4.6

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} + 1073741824 - 8^{5 + x})}{x - 5}$

Этап 2

Поскольку эта функция стремится к $- \infty$ слева, а к $\infty$ справа, предел не существует.

$Не существует$