Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{3}}{\sin (x - 5) - (x - 5)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 5} {(x - 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем степень $3$ в выражении ${(x - 5)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Этап 1.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{{(5 - 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Этап 1.1.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Этап 1.1.3

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Найдем предел $\sin (x - 5) - (x - 5)$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 - 5) - (5 - 5)}$

Этап 1.1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{\sin (0) - (5 - 5)}$

Этап 1.1.3.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 - (5 - 5)}$

Этап 1.1.3.2.3

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Этап 1.1.3.2.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{3}}{\sin (x - 5) - (x - 5)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Этап 1.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Этап 1.3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Этап 1.3.8

По правилу суммы производная $\sin (x - 5) - (x - 5)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Этап 1.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Этап 1.3.9.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Этап 1.3.9.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Этап 1.3.9.2

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Этап 1.3.9.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Этап 1.3.9.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Этап 1.3.9.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Этап 1.3.9.6

Умножим $\cos (x - 5)$ на $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Этап 1.3.10

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (x - 5)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x - 5)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x - 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.10.2

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Этап 1.3.10.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Этап 1.3.10.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - (1 + 0)}$

Этап 1.3.10.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.10.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - 1}$

Этап 1.3.11

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{- 1 + \cos (x - 5)}$

Этап 2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{2}}{- 1 + \cos (x - 5)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$3 \frac{lim_{x \to 5} {(x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x - 5)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{{(lim_{x \to 5} x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Этап 3.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Этап 3.1.2.1.3

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$3 \frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$3 \frac{{(5 - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Этап 3.1.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 5} 1 + lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Этап 3.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Этап 3.1.3.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (lim_{x \to 5} x - 5)}$

Этап 3.1.3.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

Этап 3.1.3.1.5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Этап 3.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (5 - 5)}$

Этап 3.1.3.3.1.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (0)}$

Этап 3.1.3.3.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 \frac{0}{- 1 + 1}$

Этап 3.1.3.3.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 3.2

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{2}}{- 1 + \cos (x - 5)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.2

Перепишем ${(x - 5)}^{2}$ в виде $(x - 5) (x - 5)$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.3

Развернем $(x - 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - 5) - 5 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.4.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.4.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 5 x + 25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.4.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 10 x + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.7

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.9

Умножим $- 10$ на $1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.10

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 + 0}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.11

Добавим $2 x - 10$ и $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.12

По правилу суммы производная $- 1 + \cos (x - 5)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.13

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]}$

Этап 3.3.14

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.14.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.14.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 3.3.14.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 3.3.14.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 3.3.14.2

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Этап 3.3.14.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Этап 3.3.14.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) (1 + 0)}$

Этап 3.3.14.5

Добавим $1$ и $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) \cdot 1}$

Этап 3.3.14.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5)}$

Этап 3.3.15

Вычтем $\sin (x - 5)$ из $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{- \sin (x - 5)}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$3 \frac{lim_{x \to 5} 2 x - 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$3 \frac{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Этап 4.1.2.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Этап 4.1.2.1.3

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$3 \frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Этап 4.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$3 \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Этап 4.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Умножим $2$ на $5$ .

$3 \frac{10 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Этап 4.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$3 \frac{10 - 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Этап 4.1.2.3.2

Вычтем $10$ из $10$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Этап 4.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Этап 4.1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$3 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 5} x - 5)}$

Этап 4.1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$3 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

Этап 4.1.3.1.4

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$3 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Этап 4.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$3 \frac{0}{- \sin (5 - 1 \cdot 5)}$

Этап 4.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$3 \frac{0}{- \sin (5 - 5)}$

Этап 4.1.3.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$3 \frac{0}{- \sin (0)}$

Этап 4.1.3.3.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$3 \frac{0}{- 0}$

Этап 4.1.3.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 4.1.3.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 4.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 4.2

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{- \sin (x - 5)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $2 x - 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Этап 4.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Этап 4.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Этап 4.3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Этап 4.3.4

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Этап 4.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Этап 4.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x - 5)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Этап 4.3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 4.3.7.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (u) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 4.3.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 4.3.8

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Этап 4.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Этап 4.3.10

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) (1 + 0)}$

Этап 4.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) \cdot 1}$

Этап 4.3.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5)}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 5} \frac{1}{- \cos (x - 5)}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 5} 1}{lim_{x \to 5} - \cos (x - 5)}$

Этап 5.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 5} - \cos (x - 5)}$

Этап 5.4

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{- lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Этап 5.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (lim_{x \to 5} x - 5)}$

Этап 5.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

Этап 5.7

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $3$ на $2$ .

$6 \frac{1}{- \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$6 \frac{- 1 (- 1)}{- \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Этап 7.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 (- \frac{1}{\cos (5 - 1 \cdot 5)})$

Этап 7.3

Переведем $\frac{1}{\cos (5 - 1 \cdot 5)}$ в $\sec (5 - 1 \cdot 5)$ .

$6 (- \sec (5 - 1 \cdot 5))$

Этап 7.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$6 (- \sec (5 - 5))$

Этап 7.5

Вычтем $5$ из $5$ .

$6 (- \sec (0))$

Этап 7.6

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$6 (- 1 \cdot 1)$

Этап 7.7

Умножим $6 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 \cdot - 1$

Этап 7.7.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6$