Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 8)}^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} {(x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} {(x - 3)}^{2} {(x - 8)}^{2}}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x - 5)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} {(x - 3)}^{2} {(x - 8)}^{2}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} {(x - 3)}^{2} {(x - 8)}^{2}}$

Этап 4

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} {(x - 3)}^{2} {(x - 8)}^{2}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} {(x - 3)}^{2} \cdot lim_{x \to 5} {(x - 8)}^{2}}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x - 3)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(lim_{x \to 5} x - 3)}^{2} \cdot lim_{x \to 5} {(x - 8)}^{2}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 3)}^{2} \cdot lim_{x \to 5} {(x - 8)}^{2}}$

Этап 8

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot lim_{x \to 5} {(x - 8)}^{2}}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x - 8)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 5} x - 8)}^{2}}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 8)}^{2}}$

Этап 11

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(5 - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(5 - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(5 - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{{(5 - 5)}^{2}}{{(5 - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(5 - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Этап 13.1.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0^{2}}{{(5 - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(5 - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Этап 13.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{{(5 - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(5 - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{{(5 - 3)}^{2} {(5 - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Этап 13.2.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$\frac{0}{2^{2} {(5 - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Этап 13.2.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{0}{2^{2} {(5 - 8)}^{2}}$

Этап 13.2.4

Вычтем $8$ из $5$ .

$\frac{0}{2^{2} {(- 3)}^{2}}$

Этап 13.2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{4 {(- 3)}^{2}}$

Этап 13.2.6

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{0}{4 \cdot 9}$

Этап 13.3

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{0}{36}$

Этап 13.4

Разделим $0$ на $36$ .

$0$