Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} {(\frac{2 x^{2} + 2 x + 4}{6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Вынесем степень $\frac{1}{3}$ в выражении ${(\frac{2 x^{2} + 2 x + 4}{6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 5} \frac{2 x^{2} + 2 x + 4}{6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $5$ .

${(\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + 2 x + 4}{lim_{x \to 5} 6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

${(\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} 4}{lim_{x \to 5} 6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(\frac{2 lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} 4}{lim_{x \to 5} 6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} 4}{lim_{x \to 5} 6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 4}{lim_{x \to 5} 6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 7

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

${(\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 5} x + 4}{lim_{x \to 5} 6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

${(\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 5} x + 4}{lim_{x \to 5} 6 x - lim_{x \to 5} 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 9

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 5} x + 4}{6 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

${(\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 5} x + 4}{6 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

${(\frac{2 \cdot 5^{2} + 2 lim_{x \to 5} x + 4}{6 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

${(\frac{2 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 5 + 4}{6 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

${(\frac{2 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 5 + 4}{6 \cdot 5 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

${(\frac{2 \cdot 25 + 2 \cdot 5 + 4}{6 \cdot 5 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 12.1.2

Умножим $2$ на $25$ .

${(\frac{50 + 2 \cdot 5 + 4}{6 \cdot 5 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 12.1.3

Умножим $2$ на $5$ .

${(\frac{50 + 10 + 4}{6 \cdot 5 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 12.1.4

Добавим $50$ и $10$ .

${(\frac{60 + 4}{6 \cdot 5 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 12.1.5

Добавим $60$ и $4$ .

${(\frac{64}{6 \cdot 5 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $6$ на $5$ .

${(\frac{64}{30 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 12.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

${(\frac{64}{30 - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 12.2.3

Вычтем $3$ из $30$ .

${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 12.3

Применим правило умножения к $\frac{64}{27}$ .

$\frac{64^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Этап 12.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$\frac{{(4^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Этап 12.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Этап 12.4.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Этап 12.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Этап 12.4.4

Найдем экспоненту.

$\frac{4}{27^{\frac{1}{3}}}$

Этап 12.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{4}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 12.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 12.5.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 12.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{3^{1}}$

Этап 12.5.4

Найдем экспоненту.

$\frac{4}{3}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4}{3}$

Десятичная форма:

$1.\overline{3}$