Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{x^{2} - 5}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x - 5}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5}$

Этап 3

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 5}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 5}$

Этап 6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{5^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $5 - 1 \cdot 5$ и $5^{2} - 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- 1 (- 5) - 1 \cdot 5}{5^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 5$ .

$\frac{- 1 (- 5) - 1 (5)}{5^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 5) - 1 (5)$ .

$\frac{- 1 (- 5 + 5)}{5^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 8.1.4

Вынесем множитель $5$ из $- 1 (- 5 + 5)$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 + 1))}{5^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 8.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5^{2}$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 + 1))}{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}$

Этап 8.1.5.2

Вынесем множитель $5$ из $- 1 \cdot 5$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 + 1))}{5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1}$

Этап 8.1.5.3

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 + 1))}{5 \cdot (5 - 1)}$

Этап 8.1.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- 1 (- 1 + 1))}{5 \cdot (5 - 1)}$

Этап 8.1.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (- 1 + 1)}{5 - 1}$

Этап 8.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{5 - 1}$

Этап 8.3

Вычтем $1$ из $5$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{4}$

Этап 8.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{4}$

Этап 8.5

Разделим $0$ на $4$ .

$0$