Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 7} (x + \sqrt{x - 6}) (x^{2 - 2 x + 1})$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$lim_{x \to 7} x + \sqrt{x - 6} \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$(lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} \sqrt{x - 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

Этап 1.3

Внесем предел под знак радикала.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

Этап 1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

Этап 1.5

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

Этап 1.6

Добавим $2$ и $1$ .

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{- 2 x + 3}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $x^{- 2 x + 3}$ в виде $e^{\ln (x^{- 2 x + 3})}$ .

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot lim_{x \to 7} e^{\ln (x^{- 2 x + 3})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln (x^{- 2 x + 3})$ , вынося $- 2 x + 3$ из логарифма.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot lim_{x \to 7} e^{(- 2 x + 3) \ln (x)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{lim_{x \to 7} (- 2 x + 3) \ln (x)}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{lim_{x \to 7} - 2 x + 3 \cdot lim_{x \to 7} \ln (x)}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- lim_{x \to 7} 2 x + lim_{x \to 7} 3) \cdot lim_{x \to 7} \ln (x)}$

Этап 3.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} 3) \cdot lim_{x \to 7} \ln (x)}$

Этап 3.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + 3) \cdot lim_{x \to 7} \ln (x)}$

Этап 3.6

Внесем предел под знак логарифма.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 7} x)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $7$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$(7 + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 7} x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$(7 + \sqrt{7 - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 7} x)}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$(7 + \sqrt{7 - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 7} x)}$

Этап 4.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$(7 + \sqrt{7 - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$(7 + \sqrt{7 - 6}) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

Этап 5.1.2

Вычтем $6$ из $7$ .

$(7 + \sqrt{1}) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

Этап 5.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$(7 + 1) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

Этап 5.2

Добавим $7$ и $1$ .

$8 \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

Этап 5.3

Умножим $- 2$ на $7$ .

$8 \cdot e^{(- 14 + 3) \cdot \ln (7)}$

Этап 5.4

Добавим $- 14$ и $3$ .

$8 e^{- 11 \ln (7)}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$8 e^{- 11 \ln (7)}$

Десятичная форма:

$4.04586648 \cdot 10^{- 9}$