Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) (\sin (x - 6))}{x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 6} (x^{2} - 36) (\sin (x - 6))}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} x^{2} - 36 \cdot lim_{x \to 6} \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{(lim_{x \to 6} x^{2} - lim_{x \to 6} 36) \cdot lim_{x \to 6} \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - lim_{x \to 6} 36) \cdot lim_{x \to 6} \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $36$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) \cdot lim_{x \to 6} \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.7

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.8

Найдем значения пределов, подставив значение $6$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{(6^{2} - 1 \cdot 36) \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{(6^{2} - 1 \cdot 36) \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{(36 - 1 \cdot 36) \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.9.1.2

Умножим $- 1$ на $36$ .

$\frac{(36 - 36) \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.9.2

Вычтем $36$ из $36$ .

$\frac{0 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.9.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{0 \cdot \sin (6 - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.9.4

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.9.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.2.9.6

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x^{2} - lim_{x \to 6} 12 x + lim_{x \to 6} 36}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} - lim_{x \to 6} 12 x + lim_{x \to 6} 36}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to 6} x + lim_{x \to 6} 36}$

Этап 1.1.3.4

Найдем предел $36$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to 6} x + 36}$

Этап 1.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $6$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{0}{6^{2} - 12 lim_{x \to 6} x + 36}$

Этап 1.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{0}{6^{2} - 12 \cdot 6 + 36}$

Этап 1.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{0}{36 - 12 \cdot 6 + 36}$

Этап 1.1.3.6.1.2

Умножим $- 12$ на $6$ .

$\frac{0}{36 - 72 + 36}$

Этап 1.1.3.6.2

Вычтем $72$ из $36$ .

$\frac{0}{- 36 + 36}$

Этап 1.1.3.6.3

Добавим $- 36$ и $36$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) (\sin (x - 6))}{x^{2} - 12 x + 36} = lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} - 36) (\sin (x - 6))]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} - 36) (\sin (x - 6))]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 36$ и $g (x) = \sin (x - 6)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [\sin (x - 6)] + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) (\cos (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.4

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) (1 + 0) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.7

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) \cdot 1 + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.8

Умножим $x^{2} - 36$ на $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.9

По правилу суммы производная $x^{2} - 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) + \sin (x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) + \sin (x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.11

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) + \sin (x - 6) (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.12

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) + \sin (x - 6) (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.13

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Этап 1.3.14

По правилу суммы производная $x^{2} - 12 x + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]}$

Этап 1.3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]}$

Этап 1.3.16

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.16.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]}$

Этап 1.3.16.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]}$

Этап 1.3.16.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{2 x - 12 + \frac{d}{d x} [36]}$

Этап 1.3.17

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{2 x - 12 + 0}$

Этап 1.3.18

Добавим $2 x - 12$ и $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{2 x - 12}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 6} \cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} \cos (x - 6) (x^{2} - 36) + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} \cos (x - 6) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 36 + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 6) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 36 + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 36 + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.5

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 36 + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot (lim_{x \to 6} x^{2} - lim_{x \to 6} 36) + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - lim_{x \to 6} 36) + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.8

Найдем предел $36$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) + 2 lim_{x \to 6} x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.10

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) + 2 lim_{x \to 6} x \cdot lim_{x \to 6} \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) + 2 lim_{x \to 6} x \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) + 2 lim_{x \to 6} x \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.13

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) + 2 lim_{x \to 6} x \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.14

Найдем значения пределов, подставив значение $6$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{\cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) + 2 lim_{x \to 6} x \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{\cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 36) + 2 lim_{x \to 6} x \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.14.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{\cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 36) + 2 \cdot 6 \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.14.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{\cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 36) + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.15.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{\cos (6 - 6) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 36) + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.15.1.2

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{\cos (0) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 36) + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.15.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 \cdot (6^{2} - 1 \cdot 36) + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.15.1.4

Умножим $6^{2} - 1 \cdot 36$ на $1$ .

$\frac{6^{2} - 1 \cdot 36 + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.15.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.15.1.5.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{36 - 1 \cdot 36 + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.15.1.5.2

Умножим $- 1$ на $36$ .

$\frac{36 - 36 + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.15.1.6

Вычтем $36$ из $36$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.15.1.7

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{0 + 12 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.15.1.8

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{0 + 12 \cdot \sin (6 - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.15.1.9

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{0 + 12 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.15.1.10

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.15.1.11

Умножим $12$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.2.15.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} 2 x - lim_{x \to 6} 12}$

Этап 2.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 12}$

Этап 2.1.3.1.3

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 12}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 6 - 1 \cdot 12}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{0}{12 - 1 \cdot 12}$

Этап 2.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{0}{12 - 12}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $12$ из $12$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{2 x - 12} = lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x - 6) (x^{2} - 36)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x - 6) (x^{2} - 36)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (x - 6) (x^{2} - 36)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36] + (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [\cos (x - 6)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]) + (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [\cos (x - 6)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]) + (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [\cos (x - 6)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.3.4

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + 0) + (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [\cos (x - 6)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + 0) + (x^{2} - 36) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - 6]) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.3.5.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + 0) + (x^{2} - 36) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - 6]) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.3.5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + 0) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6]) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.3.6

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + 0) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + 0) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.3.8

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + 0) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.3.9

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.3.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \sin (x - 6)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x - 6)]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.4.2

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x - 6)] + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.4.3.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\cos (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.4.4

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\cos (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\cos (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.4.6

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\cos (x - 6) (1 + 0)) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\cos (x - 6) (1 + 0)) + \sin (x - 6) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.4.8

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\cos (x - 6) \cdot 1) + \sin (x - 6) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.4.9

Умножим $\cos (x - 6)$ на $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x \cos (x - 6) + \sin (x - 6) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.4.10

Умножим $\sin (x - 6)$ на $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x \cos (x - 6) + \sin (x - 6))}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x \cos (x - 6)) + 2 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.5.2

Добавим $\cos (x - 6) (2 x)$ и $2 x \cos (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Перенесем $\cos (x - 6)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 x \cos (x - 6) + 2 x \cos (x - 6) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.5.2.2

Добавим $2 x \cos (x - 6)$ и $2 x \cos (x - 6)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.5.3

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - \sin (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - \sin (x - 6) x^{2} - \sin (x - 6) \cdot - 36 + 2 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.5.4.2

Умножим $- 36$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - \sin (x - 6) x^{2} + 36 \sin (x - 6) + 2 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.5.5

Добавим $36 \sin (x - 6)$ и $2 \sin (x - 6)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - \sin (x - 6) x^{2} + 38 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.5.6

Изменим порядок множителей в $4 x \cos (x - 6) - \sin (x - 6) x^{2} + 38 \sin (x - 6)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $2 x - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 2.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 2.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 2.3.7.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)}{2 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 2.3.8

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)}{2 + 0}$

Этап 2.3.9

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)}{2}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 6} 4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 6} 4 x \cos (x - 6) - lim_{x \to 6} x^{2} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Этап 3.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cos (x - 6) - lim_{x \to 6} x^{2} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot lim_{x \to 6} \cos (x - 6) - lim_{x \to 6} x^{2} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Этап 3.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 6) - lim_{x \to 6} x^{2} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Этап 3.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6) - lim_{x \to 6} x^{2} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Этап 3.7

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - lim_{x \to 6} x^{2} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Этап 3.8

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - lim_{x \to 6} x^{2} \cdot lim_{x \to 6} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Этап 3.9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 6} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Этап 3.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Этап 3.11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Этап 3.12

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Этап 3.13

Вынесем член $38$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + 38 lim_{x \to 6} \sin (x - 6))$

Этап 3.14

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + 38 \sin (lim_{x \to 6} x - 6))$

Этап 3.15

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + 38 \sin (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6))$

Этап 3.16

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + 38 \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6))$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $6$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 6 \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + 38 \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6))$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 6 \cdot \cos (6 - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + 38 \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6))$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 6 \cdot \cos (6 - 1 \cdot 6) - 6^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + 38 \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6))$

Этап 4.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 6 \cdot \cos (6 - 1 \cdot 6) - 6^{2} \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6))$

Этап 4.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 6 \cdot \cos (6 - 1 \cdot 6) - 6^{2} \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $4$ на $6$ .

$\frac{1}{2} (24 \cdot \cos (6 - 1 \cdot 6) - 6^{2} \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{1}{2} (24 \cdot \cos (6 - 6) - 6^{2} \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Этап 5.1.3

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{1}{2} (24 \cdot \cos (0) - 6^{2} \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Этап 5.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} (24 \cdot 1 - 6^{2} \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Этап 5.1.5

Умножим $24$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (24 - 6^{2} \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Этап 5.1.6

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} (24 - 1 \cdot 36 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Этап 5.1.7

Умножим $- 1$ на $36$ .

$\frac{1}{2} (24 - 36 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Этап 5.1.8

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{1}{2} (24 - 36 \cdot \sin (6 - 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Этап 5.1.9

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{1}{2} (24 - 36 \cdot \sin (0) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Этап 5.1.10

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (24 - 36 \cdot 0 + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Этап 5.1.11

Умножим $- 36$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (24 + 0 + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Этап 5.1.12

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{1}{2} (24 + 0 + 38 \sin (6 - 6))$

Этап 5.1.13

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{1}{2} (24 + 0 + 38 \sin (0))$

Этап 5.1.14

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (24 + 0 + 38 \cdot 0)$

Этап 5.1.15

Умножим $38$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (24 + 0 + 0)$

Этап 5.2

Добавим $24$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (24 + 0)$

Этап 5.3

Добавим $24$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 24$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (12))$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 12)$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$12$