Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{x} + 1}$

Этап 1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{x} + 1}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$5 \frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 \sqrt{x} + 1}$

Этап 3

Вынесем степень $\frac{3}{2}$ в выражении $x^{\frac{3}{2}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$5 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 \sqrt{x} + 1}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$5 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 \sqrt{x} + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 lim_{x \to 8} \sqrt{x} + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$5 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$5 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + 1}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$5 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + 1}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$5 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{8} + 1}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$5 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{4 (2)} + 1}$

Этап 9.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$5 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 1}$

Этап 9.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$5 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 (2 \sqrt{2}) + 1}$

Этап 9.1.3

Умножим $2$ на $4$ .

$5 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{8 \sqrt{2} + 1}$

Этап 9.2

Умножим $\frac{8^{\frac{3}{2}}}{8 \sqrt{2} + 1}$ на $\frac{8 \sqrt{2} - 1}{8 \sqrt{2} - 1}$ .

$5 (\frac{8^{\frac{3}{2}}}{8 \sqrt{2} + 1} \cdot \frac{8 \sqrt{2} - 1}{8 \sqrt{2} - 1})$

Этап 9.3

Умножим $\frac{8^{\frac{3}{2}}}{8 \sqrt{2} + 1}$ на $\frac{8 \sqrt{2} - 1}{8 \sqrt{2} - 1}$ .

$5 \frac{8^{\frac{3}{2}} (8 \sqrt{2} - 1)}{(8 \sqrt{2} + 1) (8 \sqrt{2} - 1)}$

Этап 9.4

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$5 \frac{8^{\frac{3}{2}} (8 \sqrt{2} - 1)}{64 {\sqrt{2}}^{2} - 8 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 1}$

Этап 9.5

Упростим.

$5 \frac{8^{\frac{3}{2}} (8 \sqrt{2} - 1)}{127}$

Этап 9.6

Объединим $5$ и $\frac{8^{\frac{3}{2}} (8 \sqrt{2} - 1)}{127}$ .

$\frac{5 \cdot 8^{\frac{3}{2}} (8 \sqrt{2} - 1)}{127}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5 \cdot (8^{\frac{3}{2}} (8 \sqrt{2} - 1))}{127}$

Десятичная форма:

$9.18789696 \dots$