Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{5 e^{4 \cdot x} - 4 e^{- 4 \cdot x}}{3 e^{4 \cdot x} + 8 e^{- 4 \cdot x}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 e^{4 \cdot x} - 4 e^{- 4 \cdot x}}{lim_{x \to 8} 3 e^{4 \cdot x} + 8 e^{- 4 \cdot x}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 e^{4 \cdot x} - lim_{x \to 8} 4 e^{- 4 \cdot x}}{lim_{x \to 8} 3 e^{4 \cdot x} + 8 e^{- 4 \cdot x}}$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 8} e^{4 \cdot x} - lim_{x \to 8} 4 e^{- 4 \cdot x}}{lim_{x \to 8} 3 e^{4 \cdot x} + 8 e^{- 4 \cdot x}}$

Этап 4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{5 e^{lim_{x \to 8} 4 \cdot x} - lim_{x \to 8} 4 e^{- 4 \cdot x}}{lim_{x \to 8} 3 e^{4 \cdot x} + 8 e^{- 4 \cdot x}}$

Этап 5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 e^{4 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 4 e^{- 4 \cdot x}}{lim_{x \to 8} 3 e^{4 \cdot x} + 8 e^{- 4 \cdot x}}$

Этап 6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 e^{4 lim_{x \to 8} x} - 4 lim_{x \to 8} e^{- 4 \cdot x}}{lim_{x \to 8} 3 e^{4 \cdot x} + 8 e^{- 4 \cdot x}}$

Этап 7

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{5 e^{4 lim_{x \to 8} x} - 4 e^{lim_{x \to 8} - 4 \cdot x}}{lim_{x \to 8} 3 e^{4 \cdot x} + 8 e^{- 4 \cdot x}}$

Этап 8

Вынесем член $- 4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 e^{4 lim_{x \to 8} x} - 4 e^{- 4 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 3 e^{4 \cdot x} + 8 e^{- 4 \cdot x}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{5 e^{4 lim_{x \to 8} x} - 4 e^{- 4 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 3 e^{4 \cdot x} + lim_{x \to 8} 8 e^{- 4 \cdot x}}$

Этап 10

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 e^{4 lim_{x \to 8} x} - 4 e^{- 4 lim_{x \to 8} x}}{3 lim_{x \to 8} e^{4 \cdot x} + lim_{x \to 8} 8 e^{- 4 \cdot x}}$

Этап 11

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{5 e^{4 lim_{x \to 8} x} - 4 e^{- 4 lim_{x \to 8} x}}{3 e^{lim_{x \to 8} 4 \cdot x} + lim_{x \to 8} 8 e^{- 4 \cdot x}}$

Этап 12

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 e^{4 lim_{x \to 8} x} - 4 e^{- 4 lim_{x \to 8} x}}{3 e^{4 lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 8 e^{- 4 \cdot x}}$

Этап 13

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 e^{4 lim_{x \to 8} x} - 4 e^{- 4 lim_{x \to 8} x}}{3 e^{4 lim_{x \to 8} x} + 8 lim_{x \to 8} e^{- 4 \cdot x}}$

Этап 14

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{5 e^{4 lim_{x \to 8} x} - 4 e^{- 4 lim_{x \to 8} x}}{3 e^{4 lim_{x \to 8} x} + 8 e^{lim_{x \to 8} - 4 \cdot x}}$

Этап 15

Вынесем член $- 4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 e^{4 lim_{x \to 8} x} - 4 e^{- 4 lim_{x \to 8} x}}{3 e^{4 lim_{x \to 8} x} + 8 e^{- 4 lim_{x \to 8} x}}$

Этап 16

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{5 e^{4 \cdot 8} - 4 e^{- 4 lim_{x \to 8} x}}{3 e^{4 lim_{x \to 8} x} + 8 e^{- 4 lim_{x \to 8} x}}$

Этап 16.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{5 e^{4 \cdot 8} - 4 e^{- 4 \cdot 8}}{3 e^{4 lim_{x \to 8} x} + 8 e^{- 4 lim_{x \to 8} x}}$

Этап 16.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{5 e^{4 \cdot 8} - 4 e^{- 4 \cdot 8}}{3 e^{4 \cdot 8} + 8 e^{- 4 lim_{x \to 8} x}}$

Этап 16.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{5 e^{4 \cdot 8} - 4 e^{- 4 \cdot 8}}{3 e^{4 \cdot 8} + 8 e^{- 4 \cdot 8}}$

Этап 17

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{5 e^{32} - 4 e^{- 4 \cdot 8}}{3 e^{4 \cdot 8} + 8 e^{- 4 \cdot 8}}$

Этап 17.1.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$\frac{5 e^{32} - 4 e^{- 32}}{3 e^{4 \cdot 8} + 8 e^{- 4 \cdot 8}}$

Этап 17.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 e^{32} - 4 \frac{1}{e^{32}}}{3 e^{4 \cdot 8} + 8 e^{- 4 \cdot 8}}$

Этап 17.1.4

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{e^{32}}$ .

$\frac{5 e^{32} + \frac{- 4}{e^{32}}}{3 e^{4 \cdot 8} + 8 e^{- 4 \cdot 8}}$

Этап 17.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5 e^{32} - \frac{4}{e^{32}}}{3 e^{4 \cdot 8} + 8 e^{- 4 \cdot 8}}$

Этап 17.1.6

Чтобы записать $5 e^{32}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{32}}{e^{32}}$ .

$\frac{\frac{5 e^{32} e^{32}}{e^{32}} - \frac{4}{e^{32}}}{3 e^{4 \cdot 8} + 8 e^{- 4 \cdot 8}}$

Этап 17.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{5 e^{32} e^{32} - 4}{e^{32}}}{3 e^{4 \cdot 8} + 8 e^{- 4 \cdot 8}}$

Этап 17.1.8

Умножим $e^{32}$ на $e^{32}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.8.1

Перенесем $e^{32}$ .

$\frac{\frac{5 (e^{32} e^{32}) - 4}{e^{32}}}{3 e^{4 \cdot 8} + 8 e^{- 4 \cdot 8}}$

Этап 17.1.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{5 e^{32 + 32} - 4}{e^{32}}}{3 e^{4 \cdot 8} + 8 e^{- 4 \cdot 8}}$

Этап 17.1.8.3

Добавим $32$ и $32$ .

$\frac{\frac{5 e^{64} - 4}{e^{32}}}{3 e^{4 \cdot 8} + 8 e^{- 4 \cdot 8}}$

Этап 17.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{\frac{5 e^{64} - 4}{e^{32}}}{3 e^{32} + 8 e^{- 4 \cdot 8}}$

Этап 17.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$\frac{\frac{5 e^{64} - 4}{e^{32}}}{3 e^{32} + 8 e^{- 32}}$

Этап 17.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{5 e^{64} - 4}{e^{32}}}{3 e^{32} + 8 \frac{1}{e^{32}}}$

Этап 17.2.4

Объединим $8$ и $\frac{1}{e^{32}}$ .

$\frac{\frac{5 e^{64} - 4}{e^{32}}}{3 e^{32} + \frac{8}{e^{32}}}$

Этап 17.2.5

Чтобы записать $3 e^{32}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{32}}{e^{32}}$ .

$\frac{\frac{5 e^{64} - 4}{e^{32}}}{\frac{3 e^{32} e^{32}}{e^{32}} + \frac{8}{e^{32}}}$

Этап 17.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{5 e^{64} - 4}{e^{32}}}{\frac{3 e^{32} e^{32} + 8}{e^{32}}}$

Этап 17.2.7

Умножим $e^{32}$ на $e^{32}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.7.1

Перенесем $e^{32}$ .

$\frac{\frac{5 e^{64} - 4}{e^{32}}}{\frac{3 (e^{32} e^{32}) + 8}{e^{32}}}$

Этап 17.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{5 e^{64} - 4}{e^{32}}}{\frac{3 e^{32 + 32} + 8}{e^{32}}}$

Этап 17.2.7.3

Добавим $32$ и $32$ .

$\frac{\frac{5 e^{64} - 4}{e^{32}}}{\frac{3 e^{64} + 8}{e^{32}}}$

Этап 17.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{5 e^{64} - 4}{e^{32}} \cdot \frac{e^{32}}{3 e^{64} + 8}$

Этап 17.4

Сократим общий множитель $e^{32}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 e^{64} - 4}{e^{32}} \cdot \frac{e^{32}}{3 e^{64} + 8}$

Этап 17.4.2

Перепишем это выражение.

$(5 e^{64} - 4) \frac{1}{3 e^{64} + 8}$

Этап 17.5

Применим свойство дистрибутивности.

$5 e^{64} \frac{1}{3 e^{64} + 8} - 4 \frac{1}{3 e^{64} + 8}$

Этап 17.6

Умножим $5 e^{64} \frac{1}{3 e^{64} + 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.6.1

Объединим $\frac{1}{3 e^{64} + 8}$ и $5$ .

$\frac{5}{3 e^{64} + 8} e^{64} - 4 \frac{1}{3 e^{64} + 8}$

Этап 17.6.2

Объединим $\frac{5}{3 e^{64} + 8}$ и $e^{64}$ .

$\frac{5 e^{64}}{3 e^{64} + 8} - 4 \frac{1}{3 e^{64} + 8}$

Этап 17.7

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{3 e^{64} + 8}$ .

$\frac{5 e^{64}}{3 e^{64} + 8} + \frac{- 4}{3 e^{64} + 8}$

Этап 17.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 e^{64} - 4}{3 e^{64} + 8}$

Этап 18

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5 e^{64} - 4}{3 e^{64} + 8}$

Десятичная форма:

$1.\overline{6}$