Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{4 x - 1}{\sqrt{2 + 3 x^{2}}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 x - 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{2 + 3 x^{2}}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 x - lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{2 + 3 x^{2}}}$

Этап 3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{2 + 3 x^{2}}}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{2 + 3 x^{2}}}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to - 8} 2 + 3 x^{2}}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to - 8} 2 + lim_{x \to - 8} 3 x^{2}}}$

Этап 7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{2 + lim_{x \to - 8} 3 x^{2}}}$

Этап 8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{2 + 3 lim_{x \to - 8} x^{2}}}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{2 + 3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot - 8 - 1 \cdot 1}{\sqrt{2 + 3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot - 8 - 1 \cdot 1}{\sqrt{2 + 3 {(- 8)}^{2}}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $4$ на $- 8$ .

$\frac{- 32 - 1 \cdot 1}{\sqrt{2 + 3 {(- 8)}^{2}}}$

Этап 11.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 32 - 1}{\sqrt{2 + 3 {(- 8)}^{2}}}$

Этап 11.1.3

Вычтем $1$ из $- 32$ .

$\frac{- 33}{\sqrt{2 + 3 {(- 8)}^{2}}}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\frac{- 33}{\sqrt{2 + 3 \cdot 64}}$

Этап 11.2.2

Умножим $3$ на $64$ .

$\frac{- 33}{\sqrt{2 + 192}}$

Этап 11.2.3

Добавим $2$ и $192$ .

$\frac{- 33}{\sqrt{194}}$

Этап 11.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{33}{\sqrt{194}}$

Этап 11.4

Умножим $\frac{33}{\sqrt{194}}$ на $\frac{\sqrt{194}}{\sqrt{194}}$ .

$- (\frac{33}{\sqrt{194}} \cdot \frac{\sqrt{194}}{\sqrt{194}})$

Этап 11.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Умножим $\frac{33}{\sqrt{194}}$ на $\frac{\sqrt{194}}{\sqrt{194}}$ .

$- \frac{33 \sqrt{194}}{\sqrt{194} \sqrt{194}}$

Этап 11.5.2

Возведем $\sqrt{194}$ в степень $1$ .

$- \frac{33 \sqrt{194}}{{\sqrt{194}}^{1} \sqrt{194}}$

Этап 11.5.3

Возведем $\sqrt{194}$ в степень $1$ .

$- \frac{33 \sqrt{194}}{{\sqrt{194}}^{1} {\sqrt{194}}^{1}}$

Этап 11.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{33 \sqrt{194}}{{\sqrt{194}}^{1 + 1}}$

Этап 11.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{33 \sqrt{194}}{{\sqrt{194}}^{2}}$

Этап 11.5.6

Перепишем ${\sqrt{194}}^{2}$ в виде $194$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{194}$ в виде $194^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{33 \sqrt{194}}{{(194^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 11.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{33 \sqrt{194}}{194^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 11.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{33 \sqrt{194}}{194^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{33 \sqrt{194}}{194^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{33 \sqrt{194}}{194^{1}}$

Этап 11.5.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{33 \sqrt{194}}{194}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{33 \sqrt{194}}{194}$

Десятичная форма:

$- 2.36926192 \dots$