Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{5 x + 1}{\sqrt{4 x^{2} + 7}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 x + 1}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 7}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 7}}$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 7}}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{5 lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 7}}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{5 lim_{x \to 8} x + 1}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 7}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{5 lim_{x \to 8} x + 1}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 7}}$

Этап 7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 8} x + 1}{\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 7}}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 lim_{x \to 8} x + 1}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 7}}$

Этап 9

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{5 lim_{x \to 8} x + 1}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 7}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{5 \cdot 8 + 1}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 7}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{5 \cdot 8 + 1}{\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 7}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{40 + 1}{\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 7}}$

Этап 11.1.2

Добавим $40$ и $1$ .

$\frac{41}{\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 7}}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{41}{\sqrt{4 \cdot 64 + 7}}$

Этап 11.2.2

Умножим $4$ на $64$ .

$\frac{41}{\sqrt{256 + 7}}$

Этап 11.2.3

Добавим $256$ и $7$ .

$\frac{41}{\sqrt{263}}$

Этап 11.3

Умножим $\frac{41}{\sqrt{263}}$ на $\frac{\sqrt{263}}{\sqrt{263}}$ .

$\frac{41}{\sqrt{263}} \cdot \frac{\sqrt{263}}{\sqrt{263}}$

Этап 11.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Умножим $\frac{41}{\sqrt{263}}$ на $\frac{\sqrt{263}}{\sqrt{263}}$ .

$\frac{41 \sqrt{263}}{\sqrt{263} \sqrt{263}}$

Этап 11.4.2

Возведем $\sqrt{263}$ в степень $1$ .

$\frac{41 \sqrt{263}}{{\sqrt{263}}^{1} \sqrt{263}}$

Этап 11.4.3

Возведем $\sqrt{263}$ в степень $1$ .

$\frac{41 \sqrt{263}}{{\sqrt{263}}^{1} {\sqrt{263}}^{1}}$

Этап 11.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{41 \sqrt{263}}{{\sqrt{263}}^{1 + 1}}$

Этап 11.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{41 \sqrt{263}}{{\sqrt{263}}^{2}}$

Этап 11.4.6

Перепишем ${\sqrt{263}}^{2}$ в виде $263$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{263}$ в виде $263^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{41 \sqrt{263}}{{(263^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 11.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{41 \sqrt{263}}{263^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 11.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{41 \sqrt{263}}{263^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{41 \sqrt{263}}{263^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{41 \sqrt{263}}{263^{1}}$

Этап 11.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{41 \sqrt{263}}{263}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{41 \sqrt{263}}{263}$

Десятичная форма:

$2.52816830 \dots$