Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{5 x}{\sqrt[4]{5 x^{4} + 3}}$

Этап 1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 lim_{x \to - 8} \frac{x}{\sqrt[4]{5 x^{4} + 3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$5 \frac{lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} \sqrt[4]{5 x^{4} + 3}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$5 \frac{lim_{x \to - 8} x}{\sqrt[4]{lim_{x \to - 8} 5 x^{4} + 3}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$5 \frac{lim_{x \to - 8} x}{\sqrt[4]{lim_{x \to - 8} 5 x^{4} + lim_{x \to - 8} 3}}$

Этап 5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 \frac{lim_{x \to - 8} x}{\sqrt[4]{5 lim_{x \to - 8} x^{4} + lim_{x \to - 8} 3}}$

Этап 6

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$5 \frac{lim_{x \to - 8} x}{\sqrt[4]{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + lim_{x \to - 8} 3}}$

Этап 7

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$5 \frac{lim_{x \to - 8} x}{\sqrt[4]{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 3}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$5 \frac{- 8}{\sqrt[4]{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 3}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$5 \frac{- 8}{\sqrt[4]{5 {(- 8)}^{4} + 3}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 8$ в степень $4$ .

$5 \frac{- 8}{\sqrt[4]{5 \cdot 4096 + 3}}$

Этап 9.1.2

Умножим $5$ на $4096$ .

$5 \frac{- 8}{\sqrt[4]{20480 + 3}}$

Этап 9.1.3

Добавим $20480$ и $3$ .

$5 \frac{- 8}{\sqrt[4]{20483}}$

Этап 9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (- \frac{8}{\sqrt[4]{20483}})$

Этап 9.3

Умножим $\frac{8}{\sqrt[4]{20483}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{20483}}^{3}}{{\sqrt[4]{20483}}^{3}}$ .

$5 (- (\frac{8}{\sqrt[4]{20483}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{20483}}^{3}}{{\sqrt[4]{20483}}^{3}}))$

Этап 9.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $\frac{8}{\sqrt[4]{20483}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{20483}}^{3}}{{\sqrt[4]{20483}}^{3}}$ .

$5 (- \frac{8 {\sqrt[4]{20483}}^{3}}{\sqrt[4]{20483} {\sqrt[4]{20483}}^{3}})$

Этап 9.4.2

Возведем $\sqrt[4]{20483}$ в степень $1$ .

$5 (- \frac{8 {\sqrt[4]{20483}}^{3}}{{\sqrt[4]{20483}}^{1} {\sqrt[4]{20483}}^{3}})$

Этап 9.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 (- \frac{8 {\sqrt[4]{20483}}^{3}}{{\sqrt[4]{20483}}^{1 + 3}})$

Этап 9.4.4

Добавим $1$ и $3$ .

$5 (- \frac{8 {\sqrt[4]{20483}}^{3}}{{\sqrt[4]{20483}}^{4}})$

Этап 9.4.5

Перепишем ${\sqrt[4]{20483}}^{4}$ в виде $20483$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{20483}$ в виде $20483^{\frac{1}{4}}$ .

$5 (- \frac{8 {\sqrt[4]{20483}}^{3}}{{(20483^{\frac{1}{4}})}^{4}})$

Этап 9.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- \frac{8 {\sqrt[4]{20483}}^{3}}{20483^{\frac{1}{4} \cdot 4}})$

Этап 9.4.5.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$5 (- \frac{8 {\sqrt[4]{20483}}^{3}}{20483^{\frac{4}{4}}})$

Этап 9.4.5.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$5 (- \frac{8 {\sqrt[4]{20483}}^{3}}{20483^{\frac{4}{4}}})$

Этап 9.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$5 (- \frac{8 {\sqrt[4]{20483}}^{3}}{20483^{1}})$

Этап 9.4.5.5

Найдем экспоненту.

$5 (- \frac{8 {\sqrt[4]{20483}}^{3}}{20483})$

Этап 9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перепишем ${\sqrt[4]{20483}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{20483^{3}}$ .

$5 (- \frac{8 \sqrt[4]{20483^{3}}}{20483})$

Этап 9.5.2

Возведем $20483$ в степень $3$ .

$5 (- \frac{8 \sqrt[4]{8593710018587}}{20483})$

Этап 9.6

Умножим $5 (- \frac{8 \sqrt[4]{8593710018587}}{20483})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \frac{8 \sqrt[4]{8593710018587}}{20483}$

Этап 9.6.2

Объединим $- 5$ и $\frac{8 \sqrt[4]{8593710018587}}{20483}$ .

$\frac{- 5 (8 \sqrt[4]{8593710018587})}{20483}$

Этап 9.6.3

Умножим $8$ на $- 5$ .

$\frac{- 40 \sqrt[4]{8593710018587}}{20483}$

Этап 9.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{40 \sqrt[4]{8593710018587}}{20483}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{40 \sqrt[4]{8593710018587}}{20483}$

Десятичная форма:

$- 3.34357908 \dots$