Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{69 x^{2} + 35 - 83 x^{4}}{55 x^{4} - 91 x^{3} - 87}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 69 x^{2} + 35 - 83 x^{4}}{lim_{x \to 8} 55 x^{4} - 91 x^{3} - 87}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 69 x^{2} + lim_{x \to 8} 35 - lim_{x \to 8} 83 x^{4}}{lim_{x \to 8} 55 x^{4} - 91 x^{3} - 87}$

Этап 3

Вынесем член $69$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{69 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 35 - lim_{x \to 8} 83 x^{4}}{lim_{x \to 8} 55 x^{4} - 91 x^{3} - 87}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{69 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 35 - lim_{x \to 8} 83 x^{4}}{lim_{x \to 8} 55 x^{4} - 91 x^{3} - 87}$

Этап 5

Найдем предел $35$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{69 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 35 - lim_{x \to 8} 83 x^{4}}{lim_{x \to 8} 55 x^{4} - 91 x^{3} - 87}$

Этап 6

Вынесем член $83$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{69 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 35 - 83 lim_{x \to 8} x^{4}}{lim_{x \to 8} 55 x^{4} - 91 x^{3} - 87}$

Этап 7

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{69 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 35 - 83 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{lim_{x \to 8} 55 x^{4} - 91 x^{3} - 87}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{69 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 35 - 83 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{lim_{x \to 8} 55 x^{4} - lim_{x \to 8} 91 x^{3} - lim_{x \to 8} 87}$

Этап 9

Вынесем член $55$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{69 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 35 - 83 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{55 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 91 x^{3} - lim_{x \to 8} 87}$

Этап 10

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{69 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 35 - 83 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{55 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 91 x^{3} - lim_{x \to 8} 87}$

Этап 11

Вынесем член $91$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{69 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 35 - 83 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{55 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 91 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 87}$

Этап 12

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{69 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 35 - 83 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{55 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 91 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 87}$

Этап 13

Найдем предел $87$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{69 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 35 - 83 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{55 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 91 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 87}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{69 \cdot 8^{2} + 35 - 83 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{55 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 91 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 87}$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{69 \cdot 8^{2} + 35 - 83 \cdot 8^{4}}{55 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 91 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 87}$

Этап 14.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{69 \cdot 8^{2} + 35 - 83 \cdot 8^{4}}{55 \cdot 8^{4} - 91 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 87}$

Этап 14.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{69 \cdot 8^{2} + 35 - 83 \cdot 8^{4}}{55 \cdot 8^{4} - 91 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 87}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{69 \cdot 64 + 35 - 83 \cdot 8^{4}}{55 \cdot 8^{4} - 91 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 87}$

Этап 15.1.2

Умножим $69$ на $64$ .

$\frac{4416 + 35 - 83 \cdot 8^{4}}{55 \cdot 8^{4} - 91 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 87}$

Этап 15.1.3

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{4416 + 35 - 83 \cdot 4096}{55 \cdot 8^{4} - 91 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 87}$

Этап 15.1.4

Умножим $- 83$ на $4096$ .

$\frac{4416 + 35 - 339968}{55 \cdot 8^{4} - 91 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 87}$

Этап 15.1.5

Добавим $4416$ и $35$ .

$\frac{4451 - 339968}{55 \cdot 8^{4} - 91 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 87}$

Этап 15.1.6

Вычтем $339968$ из $4451$ .

$\frac{- 335517}{55 \cdot 8^{4} - 91 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 87}$

Этап 15.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{- 335517}{55 \cdot 4096 - 91 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 87}$

Этап 15.2.2

Умножим $55$ на $4096$ .

$\frac{- 335517}{225280 - 91 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 87}$

Этап 15.2.3

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{- 335517}{225280 - 91 \cdot 512 - 1 \cdot 87}$

Этап 15.2.4

Умножим $- 91$ на $512$ .

$\frac{- 335517}{225280 - 46592 - 1 \cdot 87}$

Этап 15.2.5

Умножим $- 1$ на $87$ .

$\frac{- 335517}{225280 - 46592 - 87}$

Этап 15.2.6

Вычтем $46592$ из $225280$ .

$\frac{- 335517}{178688 - 87}$

Этап 15.2.7

Вычтем $87$ из $178688$ .

$\frac{- 335517}{178601}$

Этап 15.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{335517}{178601}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{335517}{178601}$

Десятичная форма:

$- 1.87858410 \dots$