Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{2} + 9}{\sqrt{x^{7} + 6 x^{2} - 5}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{7} + 6 x^{2} - 5}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{7} + 6 x^{2} - 5}}$

Этап 3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{7} + 6 x^{2} - 5}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{7} + 6 x^{2} - 5}}$

Этап 5

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{7} + 6 x^{2} - 5}}$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{7} + 6 x^{2} - 5}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{7} + lim_{x \to 8} 6 x^{2} - lim_{x \to 8} 5}}$

Этап 8

Вынесем степень $7$ в выражении $x^{7}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{7} + lim_{x \to 8} 6 x^{2} - lim_{x \to 8} 5}}$

Этап 9

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{7} + 6 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 5}}$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{7} + 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 5}}$

Этап 11

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{7} + 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} + 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{7} + 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} + 9}{\sqrt{8^{7} + 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} + 9}{\sqrt{8^{7} + 6 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{4 \cdot 64 + 9}{\sqrt{8^{7} + 6 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.1.2

Умножим $4$ на $64$ .

$\frac{256 + 9}{\sqrt{8^{7} + 6 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.1.3

Добавим $256$ и $9$ .

$\frac{265}{\sqrt{8^{7} + 6 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведем $8$ в степень $7$ .

$\frac{265}{\sqrt{2097152 + 6 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.2.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{265}{\sqrt{2097152 + 6 \cdot 64 - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.2.3

Умножим $6$ на $64$ .

$\frac{265}{\sqrt{2097152 + 384 - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.2.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{265}{\sqrt{2097152 + 384 - 5}}$

Этап 13.2.5

Добавим $2097152$ и $384$ .

$\frac{265}{\sqrt{2097536 - 5}}$

Этап 13.2.6

Вычтем $5$ из $2097536$ .

$\frac{265}{\sqrt{2097531}}$

Этап 13.2.7

Перепишем $2097531$ в виде $3^{2} \cdot 233059$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.7.1

Вынесем множитель $9$ из $2097531$ .

$\frac{265}{\sqrt{9 (233059)}}$

Этап 13.2.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{265}{\sqrt{3^{2} \cdot 233059}}$

Этап 13.2.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{265}{3 \sqrt{233059}}$

Этап 13.3

Умножим $\frac{265}{3 \sqrt{233059}}$ на $\frac{\sqrt{233059}}{\sqrt{233059}}$ .

$\frac{265}{3 \sqrt{233059}} \cdot \frac{\sqrt{233059}}{\sqrt{233059}}$

Этап 13.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим $\frac{265}{3 \sqrt{233059}}$ на $\frac{\sqrt{233059}}{\sqrt{233059}}$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 \sqrt{233059} \sqrt{233059}}$

Этап 13.4.2

Перенесем $\sqrt{233059}$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 (\sqrt{233059} \sqrt{233059})}$

Этап 13.4.3

Возведем $\sqrt{233059}$ в степень $1$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 ({\sqrt{233059}}^{1} \sqrt{233059})}$

Этап 13.4.4

Возведем $\sqrt{233059}$ в степень $1$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 ({\sqrt{233059}}^{1} {\sqrt{233059}}^{1})}$

Этап 13.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 {\sqrt{233059}}^{1 + 1}}$

Этап 13.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 {\sqrt{233059}}^{2}}$

Этап 13.4.7

Перепишем ${\sqrt{233059}}^{2}$ в виде $233059$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{233059}$ в виде $233059^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 {(233059^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 13.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 \cdot 233059^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 13.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 \cdot 233059^{\frac{2}{2}}}$

Этап 13.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 \cdot 233059^{\frac{2}{2}}}$

Этап 13.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 \cdot 233059^{1}}$

Этап 13.4.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 \cdot 233059}$

Этап 13.5

Умножим $3$ на $233059$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{699177}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{265 \sqrt{233059}}{699177}$

Десятичная форма:

$0.18297496 \dots$