Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{4 e^{x} - e^{- x}}{e^{x} - 5 e^{- x}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 e^{x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Этап 3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Этап 4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Этап 5

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{lim_{x \to - 8} - x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Этап 6

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 5 e^{- x}}$

Этап 8

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 5 e^{- x}}$

Этап 9

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 lim_{x \to - 8} e^{- x}}$

Этап 10

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{lim_{x \to - 8} - x}}$

Этап 11

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 12.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем $4 e^{- 8}$ в виде ${(2 e^{- 4})}^{2}$ .

$\frac{{(2 e^{- 4})}^{2} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.2

Перепишем $e^{8}$ в виде ${(e^{4})}^{2}$ .

$\frac{{(2 e^{- 4})}^{2} - {(e^{4})}^{2}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 e^{- 4}$ и $b = e^{4}$ .

$\frac{(2 e^{- 4} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 \frac{1}{e^{4}} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (2 \frac{1}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.4.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.5

Чтобы записать $e^{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + \frac{e^{4} e^{4}}{e^{4}}) (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 + e^{4} e^{4}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.7

Умножим $e^{4}$ на $e^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 + e^{4 + 4}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.7.2

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.8

Чтобы записать $- e^{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4} \cdot \frac{e^{4}}{e^{4}})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.9

Объединим $- e^{4}$ и $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} + \frac{- e^{4} e^{4}}{e^{4}})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{4} e^{4}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.11

Умножим $e^{4}$ на $e^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.11.1

Перенесем $e^{4}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - (e^{4} e^{4})}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.11.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{4 + 4}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.1.11.3

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} - 5 e^{8}}$

Этап 13.2.2

Чтобы записать $- 5 e^{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} - 5 e^{8} \cdot \frac{e^{8}}{e^{8}}}$

Этап 13.2.3

Объединим $- 5 e^{8}$ и $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} + \frac{- 5 e^{8} e^{8}}{e^{8}}}$

Этап 13.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{8} e^{8}}{e^{8}}}$

Этап 13.2.5

Умножим $e^{8}$ на $e^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1

Перенесем $e^{8}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 (e^{8} e^{8})}{e^{8}}}$

Этап 13.2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{8 + 8}}{e^{8}}}$

Этап 13.2.5.3

Добавим $8$ и $8$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Этап 13.3

Умножим $\frac{2 + e^{8}}{e^{4}}$ на $\frac{2 - e^{8}}{e^{4}}$ .

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{4} e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Этап 13.4

Умножим $e^{4}$ на $e^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{4 + 4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Этап 13.4.2

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Этап 13.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}} \cdot \frac{e^{8}}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.6

Сократим общий множитель $e^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}} \cdot \frac{e^{8}}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.6.2

Перепишем это выражение.

$(2 + e^{8}) (2 - e^{8}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.7

Развернем $(2 + e^{8}) (2 - e^{8})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (2 - e^{8}) + e^{8} (2 - e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \cdot 2 + 2 (- e^{8}) + e^{8} (2 - e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \cdot 2 + 2 (- e^{8}) + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.8.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$(4 + 2 (- e^{8}) + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.8.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(4 - 2 e^{8} + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.8.1.3

Перенесем $2$ влево от $e^{8}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 \cdot e^{8} + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.8.1.4

Умножим $e^{8}$ на $e^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.8.1.4.1

Перенесем $e^{8}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{8} e^{8} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.8.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{8 + 8} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.8.1.4.3

Добавим $8$ и $8$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{16} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.8.1.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{16}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} - 1 \cdot e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.8.1.6

Перепишем $- 1 e^{16}$ в виде $- e^{16}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.8.2

Добавим $- 2 e^{8}$ и $2 e^{8}$ .

$(4 + 0 - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.8.3

Добавим $4$ и $0$ .

$(4 - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.9

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \frac{1}{1 - 5 e^{16}} - e^{16} \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.10

Объединим $4$ и $\frac{1}{1 - 5 e^{16}}$ .

$\frac{4}{1 - 5 e^{16}} - e^{16} \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.11

Объединим $\frac{1}{1 - 5 e^{16}}$ и $e^{16}$ .

$\frac{4}{1 - 5 e^{16}} - \frac{e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.13.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.13.2

Перепишем $e^{16}$ в виде ${(e^{8})}^{2}$ .

$\frac{2^{2} - {(e^{8})}^{2}}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 13.13.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = e^{8}$ .

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{1 - 5 e^{16}}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{1 - 5 e^{16}}$

Десятичная форма:

$0.19999991 \dots$