Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{3 + 5 e^{x}}{\frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 + 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 + lim_{x \to 8} 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 3

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{3 + lim_{x \to 8} 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 + 5 lim_{x \to 8} e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 5

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{lim_{x \to 8} 3 x + 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 9

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 lim_{x \to 8} e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 10

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 11

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{lim_{x \to 8} 7 + 6 e^{2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{lim_{x \to 8} 7 + lim_{x \to 8} 6 e^{2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 13

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + lim_{x \to 8} 6 e^{2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 14

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 lim_{x \to 8} e^{2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 15

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{lim_{x \to 8} 2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 16

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Этап 17

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 7 x + lim_{x \to 8} 3 e^{2 x}}}}$

Этап 18

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3 e^{2 x}}}}$

Этап 19

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} e^{2 x}}}}$

Этап 20

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{lim_{x \to 8} 2 x}}}}$

Этап 21

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

Этап 22

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

Этап 22.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

Этап 22.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

Этап 22.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}{\frac{7 + 6 e^{2 \cdot 8}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

Этап 22.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}{\frac{7 + 6 e^{2 \cdot 8}}{7 \cdot 8 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

Этап 22.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}{\frac{7 + 6 e^{2 \cdot 8}}{7 \cdot 8 + 3 e^{2 \cdot 8}}}}$

Этап 23

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{2 \cdot 8}}{7 \cdot 8 + 3 e^{2 \cdot 8}}}{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}$

Этап 23.2

Умножим $2$ на $8$ .

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{16}}{7 \cdot 8 + 3 e^{2 \cdot 8}}}{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}$

Этап 23.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.3.1

Умножим $7$ на $8$ .

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{2 \cdot 8}}}{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}$

Этап 23.3.2

Умножим $2$ на $8$ .

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{16}}}{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}$

Этап 23.4

Умножим $3$ на $8$ .

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{16}}}{24 + 5 e^{8}}$

Этап 23.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(3 + 5 e^{8}) (\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{16}} \cdot \frac{1}{24 + 5 e^{8}})$

Этап 23.6

Умножим $\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{16}}$ на $\frac{1}{24 + 5 e^{8}}$ .

$(3 + 5 e^{8}) \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.7

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + 5 e^{8} \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.8

Объединим $3$ и $\frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$ .

$\frac{3 (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + 5 e^{8} \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.9

Умножим $5 e^{8} \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.9.1

Объединим $\frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$ и $5$ .

$\frac{3 (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + \frac{(7 + 6 e^{16}) \cdot 5}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} e^{8}$

Этап 23.9.2

Объединим $\frac{(7 + 6 e^{16}) \cdot 5}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$ и $e^{8}$ .

$\frac{3 (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + \frac{(7 + 6 e^{16}) \cdot 5 e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.10

Перенесем $5$ влево от $7 + 6 e^{16}$ .

$\frac{3 (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + \frac{5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (7 + 6 e^{16}) + 5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 7 + 3 (6 e^{16}) + 5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.12.2

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{21 + 3 (6 e^{16}) + 5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.12.3

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{21 + 18 e^{16} + 5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.12.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{21 + 18 e^{16} + (5 \cdot 7 + 5 (6 e^{16})) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.12.5

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{21 + 18 e^{16} + (35 + 5 (6 e^{16})) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.12.6

Умножим $6$ на $5$ .

$\frac{21 + 18 e^{16} + (35 + 30 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.12.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 e^{16} e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.12.8

Умножим $e^{16}$ на $e^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.12.8.1

Перенесем $e^{8}$ .

$\frac{21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 (e^{8} e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.12.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 e^{8 + 16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.12.8.3

Добавим $8$ и $16$ .

$\frac{21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 e^{24}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.12.9

Перепишем $21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 e^{24}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.12.9.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.12.9.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(21 + 18 e^{16}) + 35 e^{8} + 30 e^{24}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.12.9.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 (7 + 6 e^{16}) + 5 e^{8} (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 23.12.9.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 + 6 e^{16}$ .

$\frac{(7 + 6 e^{16}) (3 + 5 e^{8})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Этап 24

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{(7 + 6 e^{16}) (3 + 5 e^{8})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Десятичная форма:

$1.99718271 \dots$