Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{3 \sqrt{x} + x^{- 7}}{7 x - 5}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x} + x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} \sqrt{x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Этап 4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Этап 5

Вынесем степень $- 7$ в выражении $x^{- 7}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - lim_{x \to 8} 5}$

Этап 7

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5}$

Этап 8

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8} + 8^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{3 \sqrt{4 (2)} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 10.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 10.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 (2 \sqrt{2}) + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 10.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 \sqrt{2} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 10.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 \sqrt{2} + \frac{1}{8^{7}}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 10.1.5

Возведем $8$ в степень $7$ .

$\frac{6 \sqrt{2} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 10.1.6

Чтобы записать $6 \sqrt{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2097152}{2097152}$ .

$\frac{6 \sqrt{2} \cdot \frac{2097152}{2097152} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 10.1.7

Объединим $6 \sqrt{2}$ и $\frac{2097152}{2097152}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{2} \cdot 2097152}{2097152} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 10.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{6 \sqrt{2} \cdot 2097152 + 1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 10.1.9

Умножим $2097152$ на $6$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $7$ на $8$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{56 - 1 \cdot 5}$

Этап 10.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{56 - 5}$

Этап 10.2.3

Вычтем $5$ из $56$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{51}$

Этап 10.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152} \cdot \frac{1}{51}$

Этап 10.4

Умножим $\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152} \cdot \frac{1}{51}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}$ на $\frac{1}{51}$ .

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152 \cdot 51}$

Этап 10.4.2

Умножим $2097152$ на $51$ .

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{106954752}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{106954752}$

Десятичная форма:

$0.16637807 \dots$