Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{3 e^{- x}}{\ln (1 + 7 e^{- x})}$

Этап 1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 8} \frac{e^{- x}}{\ln (1 + 7 e^{- x})}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$3 \frac{lim_{x \to 8} e^{- x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$3 \frac{e^{lim_{x \to 8} - x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

Этап 4

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

Этап 5

Внесем предел под знак логарифма.

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (lim_{x \to 8} 1 + 7 e^{- x})}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 7 e^{- x})}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + lim_{x \to 8} 7 e^{- x})}$

Этап 8

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 lim_{x \to 8} e^{- x})}$

Этап 9

Внесем предел под знак экспоненты.

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 e^{lim_{x \to 8} - x})}$

Этап 10

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 e^{- lim_{x \to 8} x})}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$3 \frac{e^{- 8}}{\ln (1 + 7 e^{- lim_{x \to 8} x})}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$3 \frac{e^{- 8}}{\ln (1 + 7 e^{- 8})}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем $e^{- 8}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{1}{\ln (1 + 7 e^{- 8}) e^{8}}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{1}{\ln (1 + 7 \frac{1}{e^{8}}) e^{8}}$

Этап 12.2.1.2

Объединим $7$ и $\frac{1}{e^{8}}$ .

$3 \frac{1}{\ln (1 + \frac{7}{e^{8}}) e^{8}}$

Этап 12.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$3 \frac{1}{\ln (\frac{e^{8}}{e^{8}} + \frac{7}{e^{8}}) e^{8}}$

Этап 12.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{1}{\ln (\frac{e^{8} + 7}{e^{8}}) e^{8}}$

Этап 12.2.4

Перенесем $e^{8}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3 \frac{1}{\ln ((e^{8} + 7) e^{- 8}) e^{8}}$

Этап 12.2.5

Перепишем $\ln ((e^{8} + 7) e^{- 8})$ в виде $\ln (e^{8} + 7) + \ln (e^{- 8})$ .

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) + \ln (e^{- 8})) e^{8}}$

Этап 12.2.6

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 8$ из степени.

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8 \ln (e)) e^{8}}$

Этап 12.2.7

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8 \cdot 1) e^{8}}$

Этап 12.2.8

Умножим $- 8$ на $1$ .

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$

Этап 12.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$ .

$\frac{3}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$

Этап 12.4

Изменим порядок множителей в $\frac{3}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$ .

$\frac{3}{e^{8} (\ln (e^{8} + 7) - 8)}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{e^{8} (\ln (e^{8} + 7) - 8)}$

Десятичная форма:

$0.42907442 \dots$