Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{\sin (x) + 2}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{\sin (x) + 2}}$

Этап 1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 8} x^{\sin (x) + 2}}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $x^{\sin (x) + 2}$ в виде $e^{\ln (x^{\sin (x) + 2})}$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{\sin (x) + 2})}}$

Этап 2.2

Развернем $\ln (x^{\sin (x) + 2})$ , вынося $\sin (x) + 2$ из логарифма.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} e^{(\sin (x) + 2) \ln (x)}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{e^{lim_{x \to 8} (\sin (x) + 2) \ln (x)}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{x \to 8} \sin (x) + 2 \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{1}{e^{(lim_{x \to 8} \sin (x) + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Этап 3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Этап 3.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Этап 3.6

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + 2) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (8) + 2) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (8) + 2) \cdot \ln (8)}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Найдем значение $\sin (8)$ .

$\frac{1}{e^{(0.1391731 + 2) \cdot \ln (8)}}$

Этап 5.1.2

Добавим $0.1391731$ и $2$ .

$\frac{1}{e^{2.1391731 \cdot \ln (8)}}$

Этап 5.1.3

Упростим $2.1391731 \cdot \ln (8)$ путем переноса $2.1391731$ под логарифм.

$\frac{1}{e^{\ln (8^{2.1391731})}}$

Этап 5.1.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{1}{8^{2.1391731}}$

Этап 5.1.5

Возведем $8$ в степень $2.1391731$ .

$\frac{1}{85.48025477}$

Этап 5.2

Разделим $1$ на $85.48025477$ .

$0.0116986$