Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{x}}{4 - (\frac{16}{x})}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}} + lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Этап 3

Вынесем степень $\frac{2}{3}$ в выражении $x^{\frac{2}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 - lim_{x \to 8} \frac{16}{x}}$

Этап 7

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - lim_{x \to 8} \frac{16}{x}}$

Этап 8

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Этап 12.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{3 (\frac{2}{3})} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Этап 12.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{3 (\frac{2}{3})} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Этап 12.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2^{2} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Этап 12.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Этап 12.1.5

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{4 (2)}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Этап 12.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Этап 12.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{4 + 3 (2 \sqrt{2})}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Этап 12.1.7

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Вынесем множитель $8$ из $- 16$ .

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 + 8 (- 2) \frac{1}{8}}$

Этап 12.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 + 8 \cdot - 2 \frac{1}{8}}$

Этап 12.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 - 2}$

Этап 12.2.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{2}$

Этап 12.3

Сократим общий множитель $4 + 6 \sqrt{2}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 6 \sqrt{2}}{2}$

Этап 12.3.2

Вынесем множитель $2$ из $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Этап 12.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (3 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2}$

Этап 12.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 12.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 12.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + 3 \sqrt{2}}{1}$

Этап 12.3.4.4

Разделим $2 + 3 \sqrt{2}$ на $1$ .

$2 + 3 \sqrt{2}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 + 3 \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$6.24264068 \dots$