Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt{5 x^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt{5 x^{4} - \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} 5 x^{4} - \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} 5 x^{4} - lim_{x \to - 8} \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{5 lim_{x \to - 8} x^{4} - lim_{x \to - 8} \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Этап 5

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - lim_{x \to - 8} \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Этап 6

Найдем предел $\frac{1}{4}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- lim_{x \to - 8} 12 - lim_{x \to - 8} \frac{2}{3} x^{8}}$

Этап 8

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 1 \cdot 12 - lim_{x \to - 8} \frac{2}{3} x^{8}}$

Этап 9

Вынесем член $\frac{2}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} lim_{x \to - 8} x^{8}}$

Этап 10

Вынесем степень $8$ в выражении $x^{8}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to - 8} x)}^{8}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{5 {(- 8)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to - 8} x)}^{8}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{5 {(- 8)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Возведем $- 8$ в степень $4$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot 4096 - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Этап 12.1.2

Умножим $5$ на $4096$ .

$\frac{\sqrt{20480 - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Этап 12.1.3

Чтобы записать $20480$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{20480 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Этап 12.1.4

Объединим $20480$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{20480 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Этап 12.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{\frac{20480 \cdot 4 - 1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Этап 12.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.6.1

Умножим $20480$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{81920 - 1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Этап 12.1.6.2

Вычтем $1$ из $81920$ .

$\frac{\sqrt{\frac{81919}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Этап 12.1.7

Перепишем $\sqrt{\frac{81919}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{81919}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{\sqrt{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Этап 12.1.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{\sqrt{2^{2}}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Этап 12.1.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возведем $- 8$ в степень $8$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - \frac{2}{3} \cdot 16777216}$

Этап 12.2.2

Умножим $- \frac{2}{3} \cdot 16777216$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Умножим $16777216$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - 16777216 (\frac{2}{3})}$

Этап 12.2.2.2

Объединим $- 16777216$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 + \frac{- 16777216 \cdot 2}{3}}$

Этап 12.2.2.3

Умножим $- 16777216$ на $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 + \frac{- 33554432}{3}}$

Этап 12.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - \frac{33554432}{3}}$

Этап 12.2.4

Чтобы записать $- 12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 \cdot \frac{3}{3} - \frac{33554432}{3}}$

Этап 12.2.5

Объединим $- 12$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 12 \cdot 3}{3} - \frac{33554432}{3}}$

Этап 12.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 12 \cdot 3 - 33554432}{3}}$

Этап 12.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.7.1

Умножим $- 12$ на $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 36 - 33554432}{3}}$

Этап 12.2.7.2

Вычтем $33554432$ из $- 36$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 33554468}{3}}$

Этап 12.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- \frac{33554468}{3}}$

Этап 12.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{81919}}{2} (- \frac{3}{33554468})$

Этап 12.4

Умножим $\frac{\sqrt{81919}}{2} (- \frac{3}{33554468})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{81919}}{2}$ на $\frac{3}{33554468}$ .

$- \frac{\sqrt{81919} \cdot 3}{2 \cdot 33554468}$

Этап 12.4.2

Умножим $2$ на $33554468$ .

$- \frac{\sqrt{81919} \cdot 3}{67108936}$

Этап 12.5

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{81919}$ .

$- \frac{3 \sqrt{81919}}{67108936}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3 \sqrt{81919}}{67108936}$

Десятичная форма:

$- 1.27947917 \cdot 10^{- 5}$