Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{5 x^{2}}}{2 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{5 x^{2}}}{x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 8^{2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 8^{2}}}{8}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим.

$\frac{1 \sqrt{5 \cdot 8^{2}}}{2 \cdot 8}$

Этап 7.2

Умножим $\sqrt{5 \cdot 8^{2}}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot 8^{2}}}{2 \cdot 8}$

Этап 7.3

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot 8^{2}}}{16}$

Этап 7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot 64}}{16}$

Этап 7.4.2

Умножим $5$ на $64$ .

$\frac{\sqrt{320}}{16}$

Этап 7.4.3

Перепишем $320$ в виде $8^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Вынесем множитель $64$ из $320$ .

$\frac{\sqrt{64 (5)}}{16}$

Этап 7.4.3.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} \cdot 5}}{16}$

Этап 7.4.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{8 \sqrt{5}}{16}$

Этап 7.5

Сократим общий множитель $8$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $8$ из $8 \sqrt{5}$ .

$\frac{8 (\sqrt{5})}{16}$

Этап 7.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{8 \cdot 2}$

Этап 7.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \sqrt{5}}{8 \cdot 2}$

Этап 7.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Десятичная форма:

$1.11803398 \dots$