Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{6 x^{3} - 2 x + 1}}{7 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{7}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{6 x^{3} - 2 x + 1}}{x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{6 x^{3} - 2 x + 1}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 6 x^{3} - 2 x + 1}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 6 x^{3} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 5

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt[3]{6 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 6

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt[3]{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt[3]{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt[3]{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x + 1}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt[3]{6 \cdot 8^{3} - 2 lim_{x \to 8} x + 1}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt[3]{6 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8 + 1}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt[3]{6 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8 + 1}}{8}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим.

$\frac{1 \sqrt[3]{6 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8 + 1}}{7 \cdot 8}$

Этап 10.2

Умножим $\sqrt[3]{6 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8 + 1}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8 + 1}}{7 \cdot 8}$

Этап 10.3

Умножим $7$ на $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8 + 1}}{56}$

Этап 10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 \cdot 512 - 2 \cdot 8 + 1}}{56}$

Этап 10.4.2

Умножим $6$ на $512$ .

$\frac{\sqrt[3]{3072 - 2 \cdot 8 + 1}}{56}$

Этап 10.4.3

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{3072 - 16 + 1}}{56}$

Этап 10.4.4

Вычтем $16$ из $3072$ .

$\frac{\sqrt[3]{3056 + 1}}{56}$

Этап 10.4.5

Добавим $3056$ и $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{3057}}{56}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt[3]{3057}}{56}$

Десятичная форма:

$0.25916545 \dots$