Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{2 + 3 x - 5 x^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{2 + 3 x - 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 2 + 3 x - 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Этап 4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Этап 6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Этап 8

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Этап 11

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Этап 12

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 \cdot 8 - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 \cdot 8 - 5 \cdot 8^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 13.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 \cdot 8 - 5 \cdot 8^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 24 - 5 \cdot 8^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 14.1.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 24 - 5 \cdot 64}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 14.1.3

Умножим $- 5$ на $64$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 24 - 320}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 14.1.4

Добавим $2$ и $24$ .

$\frac{\sqrt[3]{26 - 320}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 14.1.5

Вычтем $320$ из $26$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 14.1.6

Перепишем $- 294$ в виде ${(- 1)}^{3} \cdot 294$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.6.1

Перепишем $- 294$ в виде $- 1 (294)$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 1 (294)}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 14.1.6.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 14.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{- 1 \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 14.1.8

Перепишем $- 1 \sqrt[3]{294}$ в виде $- \sqrt[3]{294}$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $8$ на $8^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Умножим $8$ на $8^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1.1

Возведем $8$ в степень $1$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}$

Этап 14.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8^{1 + 2}}}$

Этап 14.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8^{3}}}$

Этап 14.2.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 512}}$

Этап 14.2.3

Добавим $1$ и $512$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{513}}$

Этап 14.2.4

Перепишем $513$ в виде $3^{3} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.1

Вынесем множитель $27$ из $513$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{27 (19)}}$

Этап 14.2.4.2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 19}}$

Этап 14.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$

Этап 14.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$

Этап 14.4

Умножим $\frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$- (\frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}})$

Этап 14.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Этап 14.5.2

Перенесем $\sqrt[3]{19}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 (\sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

Этап 14.5.3

Возведем $\sqrt[3]{19}$ в степень $1$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 ({\sqrt[3]{19}}^{1} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

Этап 14.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{1 + 2}}$

Этап 14.5.5

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{3}}$

Этап 14.5.6

Перепишем ${\sqrt[3]{19}}^{3}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{19}$ в виде $19^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {(19^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 14.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 14.5.6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

Этап 14.5.6.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

Этап 14.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{1}}$

Этап 14.5.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19}$

Этап 14.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Перепишем ${\sqrt[3]{19}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{19^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} \sqrt[3]{19^{2}}}{3 \cdot 19}$

Этап 14.6.2

Возведем $19$ в степень $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} \sqrt[3]{361}}{3 \cdot 19}$

Этап 14.7

Умножим $3$ на $19$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} \sqrt[3]{361}}{57}$

Этап 14.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt[3]{294 \cdot 361}}{57}$

Этап 14.8.2

Умножим $294$ на $361$ .

$- \frac{\sqrt[3]{106134}}{57}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt[3]{106134}}{57}$

Десятичная форма:

$- 0.83063454 \dots$