Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 729}}{4 x^{2} + \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{6} + 729}}{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} + \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + 729}}{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} + \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + lim_{x \to - 8} 729}}{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} + \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Этап 4

Вынесем степень $6$ в выражении $x^{6}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + lim_{x \to - 8} 729}}{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} + \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Этап 5

Найдем предел $729$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} + \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Этап 7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{4 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Этап 9

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 5 x^{4} + 25}}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 5 x^{4} + lim_{x \to - 8} 25}}$

Этап 11

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{5 lim_{x \to - 8} x^{4} + lim_{x \to - 8} 25}}$

Этап 12

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + lim_{x \to - 8} 25}}$

Этап 13

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 25}}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 729}}{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 25}}$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 729}}{4 {(- 8)}^{2} + \sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 25}}$

Этап 14.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 729}}{4 {(- 8)}^{2} + \sqrt{5 {(- 8)}^{4} + 25}}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Возведем $- 8$ в степень $6$ .

$\frac{\sqrt[3]{262144 + 729}}{4 {(- 8)}^{2} + \sqrt{5 {(- 8)}^{4} + 25}}$

Этап 15.1.2

Добавим $262144$ и $729$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873}}{4 {(- 8)}^{2} + \sqrt{5 {(- 8)}^{4} + 25}}$

Этап 15.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873}}{4 \cdot 64 + \sqrt{5 {(- 8)}^{4} + 25}}$

Этап 15.2.2

Умножим $4$ на $64$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873}}{256 + \sqrt{5 {(- 8)}^{4} + 25}}$

Этап 15.2.3

Возведем $- 8$ в степень $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873}}{256 + \sqrt{5 \cdot 4096 + 25}}$

Этап 15.2.4

Умножим $5$ на $4096$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873}}{256 + \sqrt{20480 + 25}}$

Этап 15.2.5

Добавим $20480$ и $25$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873}}{256 + \sqrt{20505}}$

Этап 15.3

Умножим $\frac{\sqrt[3]{262873}}{256 + \sqrt{20505}}$ на $\frac{256 - \sqrt{20505}}{256 - \sqrt{20505}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873}}{256 + \sqrt{20505}} \cdot \frac{256 - \sqrt{20505}}{256 - \sqrt{20505}}$

Этап 15.4

Умножим $\frac{\sqrt[3]{262873}}{256 + \sqrt{20505}}$ на $\frac{256 - \sqrt{20505}}{256 - \sqrt{20505}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873} (256 - \sqrt{20505})}{(256 + \sqrt{20505}) (256 - \sqrt{20505})}$

Этап 15.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{\sqrt[3]{262873} (256 - \sqrt{20505})}{65536 - 256 \sqrt{20505} + \sqrt{20505} \cdot 256 - {\sqrt{20505}}^{2}}$

Этап 15.6

Упростим.

$\frac{\sqrt[3]{262873} (256 - \sqrt{20505})}{45031}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt[3]{262873} (256 - \sqrt{20505})}{45031}$

Десятичная форма:

$0.16047085 \dots$