Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x - 1})}^{3 x}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\frac{x}{x - 1})}^{3 x}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})$ , вынося $3 x$ из логарифма.

$lim_{x \to 8} e^{3 x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 8} 3 x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Этап 2.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x}{x - 1})}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1})}$

Этап 2.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $3$ на $8$ .

$e^{24 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}$

Этап 4.2

Упростим $24 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})$ путем переноса $24$ под логарифм.

$e^{\ln ({(\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}^{24})}$

Этап 4.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}^{24}$

Этап 4.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

${(\frac{8}{8 - 1})}^{24}$

Этап 4.4.2

Вычтем $1$ из $8$ .

${(\frac{8}{7})}^{24}$

Этап 4.5

Применим правило умножения к $\frac{8}{7}$ .

$\frac{8^{24}}{7^{24}}$

Этап 4.6

Возведем $8$ в степень $24$ .

$\frac{4722366482869640000000}{7^{24}}$

Этап 4.7

Возведем $7$ в степень $24$ .

$\frac{4722366482869640000000}{191581231380566000000}$

Этап 4.8

Сократим общий множитель $4722366482869640000000$ и $191581231380566000000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем множитель $2000000$ из $4722366482869640000000$ .

$\frac{2000000 (2361183241434820)}{191581231380566000000}$

Этап 4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Вынесем множитель $2000000$ из $191581231380566000000$ .

$\frac{2000000 \cdot 2361183241434820}{2000000 \cdot 95790615690283}$

Этап 4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2000000 \cdot 2361183241434820}{2000000 \cdot 95790615690283}$

Этап 4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2361183241434820}{95790615690283}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2361183241434820}{95790615690283}$

Десятичная форма:

$24.64942128 \dots$