Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x^{3} - 2 x - 1}}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} - 2 x - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} - 2 x - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

Этап 4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

Этап 7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + x + 1}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x + 1}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{8^{3} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x + 1}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{8^{3} - 2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x + 1}}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{8^{3} - 2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + lim_{x \to 8} x + 1}}$

Этап 11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{8^{3} - 2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + 8 + 1}}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{512 - 2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + 8 + 1}}$

Этап 12.1.2

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{512 - 16 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + 8 + 1}}$

Этап 12.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{512 - 16 - 1}}{\sqrt{8^{2} + 8 + 1}}$

Этап 12.1.4

Вычтем $16$ из $512$ .

$\frac{\sqrt[3]{496 - 1}}{\sqrt{8^{2} + 8 + 1}}$

Этап 12.1.5

Вычтем $1$ из $496$ .

$\frac{\sqrt[3]{495}}{\sqrt{8^{2} + 8 + 1}}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{495}}{\sqrt{64 + 8 + 1}}$

Этап 12.2.2

Добавим $64$ и $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{495}}{\sqrt{72 + 1}}$

Этап 12.2.3

Добавим $72$ и $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{495}}{\sqrt{73}}$

Этап 12.3

Умножим $\frac{\sqrt[3]{495}}{\sqrt{73}}$ на $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{495}}{\sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$

Этап 12.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{495}}{\sqrt{73}}$ на $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{\sqrt{73} \sqrt{73}}$

Этап 12.4.2

Возведем $\sqrt{73}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{{\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73}}$

Этап 12.4.3

Возведем $\sqrt{73}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{{\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1}}$

Этап 12.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{{\sqrt{73}}^{1 + 1}}$

Этап 12.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{{\sqrt{73}}^{2}}$

Этап 12.4.6

Перепишем ${\sqrt{73}}^{2}$ в виде $73$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{73}$ в виде $73^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{{(73^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 12.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{73^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 12.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{73^{\frac{2}{2}}}$

Этап 12.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{73^{\frac{2}{2}}}$

Этап 12.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{73^{1}}$

Этап 12.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{73}$

Этап 12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{495}$ в виде $495^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{495^{\frac{1}{3}} \sqrt{73}}{73}$

Этап 12.5.1.2

Перепишем $495^{\frac{1}{3}}$ в виде $495^{\frac{2}{6}}$ .

$\frac{495^{\frac{2}{6}} \sqrt{73}}{73}$

Этап 12.5.1.3

Перепишем $495^{\frac{2}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{495^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[6]{495^{2}} \sqrt{73}}{73}$

Этап 12.5.1.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{73}$ в виде $73^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt[6]{495^{2}} \cdot 73^{\frac{1}{2}}}{73}$

Этап 12.5.1.5

Перепишем $73^{\frac{1}{2}}$ в виде $73^{\frac{3}{6}}$ .

$\frac{\sqrt[6]{495^{2}} \cdot 73^{\frac{3}{6}}}{73}$

Этап 12.5.1.6

Перепишем $73^{\frac{3}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{73^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[6]{495^{2}} \sqrt[6]{73^{3}}}{73}$

Этап 12.5.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt[6]{495^{2} \cdot 73^{3}}}{73}$

Этап 12.5.3

Возведем $495$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt[6]{245025 \cdot 73^{3}}}{73}$

Этап 12.5.4

Возведем $73$ в степень $3$ .

$\frac{\sqrt[6]{245025 \cdot 389017}}{73}$

Этап 12.6

Умножим $245025$ на $389017$ .

$\frac{\sqrt[6]{95318890425}}{73}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt[6]{95318890425}}{73}$

Десятичная форма:

$0.92584930 \dots$