Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2 \ln (x)}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2 \ln (x)}}$ в виде $e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2 \ln (x)}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2 \ln (x)}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2 \ln (x)}})$ , вынося $\frac{1}{2 \ln (x)}$ из логарифма.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{2 \ln (x)} \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + 2 x)}$

Этап 2.3

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 8} \frac{1}{\ln (x)} \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + 2 x)}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \ln (x)} \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + 2 x)}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 8} \ln (x)} \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + 2 x)}$

Этап 2.6

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (lim_{x \to 8} x)} \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + 2 x)}$

Этап 2.7

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (lim_{x \to 8} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + 2 x)}$

Этап 2.8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (lim_{x \to 8} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 2 x)}$

Этап 2.9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (lim_{x \to 8} x)} \cdot \ln (1 + lim_{x \to 8} 2 x)}$

Этап 2.10

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (lim_{x \to 8} x)} \cdot \ln (1 + 2 lim_{x \to 8} x)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot \ln (1 + 2 lim_{x \to 8} x)}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot \ln (1 + 2 \cdot 8)}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{\ln (8)}$ .

$e^{\frac{1}{2 \ln (8)} \cdot \ln (1 + 2 \cdot 8)}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $8$ .

$e^{\frac{1}{2 \ln (8)} \cdot \ln (1 + 16)}$

Этап 4.3

Добавим $1$ и $16$ .

$e^{\frac{1}{2 \ln (8)} \cdot \ln (17)}$

Этап 4.4

Объединим $\frac{1}{2 \ln (8)}$ и $\ln (17)$ .

$e^{\frac{\ln (17)}{2 \ln (8)}}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{\frac{\ln (17)}{2 \ln (8)}}$

Десятичная форма:

$1.97633438 \dots$