Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{2 x + \sin (3 x)}{5 x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x + \sin (3 x)}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} \sin (3 x)}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} \sin (3 x)}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x + \sin (lim_{x \to 8} 3 x)}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x + \sin (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x + \sin (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 7

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x + \sin (3 lim_{x \to 8} x)}{5 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x + \sin (3 lim_{x \to 8} x)}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x + \sin (3 lim_{x \to 8} x)}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x + \sin (3 lim_{x \to 8} x)}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x + 1}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 + \sin (3 lim_{x \to 8} x)}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x + 1}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 + \sin (3 \cdot 8)}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x + 1}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 + \sin (3 \cdot 8)}{5 \cdot 8^{2} - 2 lim_{x \to 8} x + 1}$

Этап 11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 + \sin (3 \cdot 8)}{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8 + 1}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16 + \sin (3 \cdot 8)}{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8 + 1}$

Этап 12.1.2

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{16 + \sin (24)}{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8 + 1}$

Этап 12.1.3

Найдем значение $\sin (24)$ .

$\frac{16 + 0.40673664}{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8 + 1}$

Этап 12.1.4

Добавим $16$ и $0.40673664$ .

$\frac{16.40673664}{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8 + 1}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{16.40673664}{5 \cdot 64 - 2 \cdot 8 + 1}$

Этап 12.2.2

Умножим $5$ на $64$ .

$\frac{16.40673664}{320 - 2 \cdot 8 + 1}$

Этап 12.2.3

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\frac{16.40673664}{320 - 16 + 1}$

Этап 12.2.4

Вычтем $16$ из $320$ .

$\frac{16.40673664}{304 + 1}$

Этап 12.2.5

Добавим $304$ и $1$ .

$\frac{16.40673664}{305}$

Этап 12.3

Разделим $16.40673664$ на $305$ .

$0.05379257$