Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{- 2 x + 5}{5 x - \sqrt{25 x^{2} + x - 5}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} - 2 x + 5}{lim_{x \to - 8} 5 x - \sqrt{25 x^{2} + x - 5}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{- lim_{x \to - 8} 2 x + lim_{x \to - 8} 5}{lim_{x \to - 8} 5 x - \sqrt{25 x^{2} + x - 5}}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 5}{lim_{x \to - 8} 5 x - \sqrt{25 x^{2} + x - 5}}$

Этап 4

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{lim_{x \to - 8} 5 x - \sqrt{25 x^{2} + x - 5}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{lim_{x \to - 8} 5 x - lim_{x \to - 8} \sqrt{25 x^{2} + x - 5}}$

Этап 6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{5 lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} \sqrt{25 x^{2} + x - 5}}$

Этап 7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{5 lim_{x \to - 8} x - \sqrt{lim_{x \to - 8} 25 x^{2} + x - 5}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{5 lim_{x \to - 8} x - \sqrt{lim_{x \to - 8} 25 x^{2} + lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 5}}$

Этап 9

Вынесем член $25$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{5 lim_{x \to - 8} x - \sqrt{25 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 5}}$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{5 lim_{x \to - 8} x - \sqrt{25 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 5}}$

Этап 11

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{5 lim_{x \to - 8} x - \sqrt{25 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5}}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{- 2 \cdot - 8 + 5}{5 lim_{x \to - 8} x - \sqrt{25 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5}}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{- 2 \cdot - 8 + 5}{5 \cdot - 8 - \sqrt{25 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5}}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{- 2 \cdot - 8 + 5}{5 \cdot - 8 - \sqrt{25 {(- 8)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5}}$

Этап 12.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{- 2 \cdot - 8 + 5}{5 \cdot - 8 - \sqrt{25 {(- 8)}^{2} - 8 - 1 \cdot 5}}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$\frac{16 + 5}{5 \cdot - 8 - \sqrt{25 {(- 8)}^{2} - 8 - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.1.2

Добавим $16$ и $5$ .

$\frac{21}{5 \cdot - 8 - \sqrt{25 {(- 8)}^{2} - 8 - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $5$ на $- 8$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{25 {(- 8)}^{2} - 8 - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.2.2

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{25 \cdot 64 - 8 - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.2.3

Умножим $25$ на $64$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{1600 - 8 - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.2.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{1600 - 8 - 5}}$

Этап 13.2.5

Вычтем $8$ из $1600$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{1592 - 5}}$

Этап 13.2.6

Вычтем $5$ из $1592$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{1587}}$

Этап 13.2.7

Перепишем $1587$ в виде $23^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.7.1

Вынесем множитель $529$ из $1587$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{529 (3)}}$

Этап 13.2.7.2

Перепишем $529$ в виде $23^{2}$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{23^{2} \cdot 3}}$

Этап 13.2.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{21}{- 40 - (23 \sqrt{3})}$

Этап 13.2.9

Умножим $23$ на $- 1$ .

$\frac{21}{- 40 - 23 \sqrt{3}}$

Этап 13.3

Умножим $\frac{21}{- 40 - 23 \sqrt{3}}$ на $\frac{- 40 + 23 \sqrt{3}}{- 40 + 23 \sqrt{3}}$ .

$\frac{21}{- 40 - 23 \sqrt{3}} \cdot \frac{- 40 + 23 \sqrt{3}}{- 40 + 23 \sqrt{3}}$

Этап 13.4

Умножим $\frac{21}{- 40 - 23 \sqrt{3}}$ на $\frac{- 40 + 23 \sqrt{3}}{- 40 + 23 \sqrt{3}}$ .

$\frac{21 (- 40 + 23 \sqrt{3})}{(- 40 - 23 \sqrt{3}) (- 40 + 23 \sqrt{3})}$

Этап 13.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{21 (- 40 + 23 \sqrt{3})}{1600 - 920 \sqrt{3} + 920 \sqrt{3} - 529 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 13.6

Упростим.

$\frac{21 (- 40 + 23 \sqrt{3})}{13}$

Этап 13.7

Перепишем $- 40$ в виде $- 1 (40)$ .

$\frac{21 (- 1 (40) + 23 \sqrt{3})}{13}$

Этап 13.8

Вынесем множитель $- 1$ из $23 \sqrt{3}$ .

$\frac{21 (- 1 (40) - (- 23 \sqrt{3}))}{13}$

Этап 13.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (40) - (- 23 \sqrt{3})$ .

$\frac{21 (- 1 (40 - 23 \sqrt{3}))}{13}$

Этап 13.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{21 (40 - 23 \sqrt{3})}{13}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{21 (40 - 23 \sqrt{3})}{13}$

Десятичная форма:

$- 0.26303538 \dots$