Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{- 2 + \sqrt{5 x}}{5 x + 2}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} - 2 + \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 8} 5 x + 2}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{- lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 8} 5 x + 2}$

Этап 3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 + lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 8} 5 x + 2}$

Этап 4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{- 2 + \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x}}{lim_{x \to 8} 5 x + 2}$

Этап 5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 5 x + 2}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Этап 7

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}{5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}$

Этап 8

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}{5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{5 \cdot 8}}{5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{5 \cdot 8}}{5 \cdot 8 + 2}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{40}}{5 \cdot 8 + 2}$

Этап 10.1.2

Перепишем $40$ в виде $2^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $40$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{4 (10)}}{5 \cdot 8 + 2}$

Этап 10.1.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{5 \cdot 8 + 2}$

Этап 10.1.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{- 2 + 2 \sqrt{10}}{5 \cdot 8 + 2}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{- 2 + 2 \sqrt{10}}{40 + 2}$

Этап 10.2.2

Добавим $40$ и $2$ .

$\frac{- 2 + 2 \sqrt{10}}{42}$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $- 2 + 2 \sqrt{10}$ и $42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{10}}{42}$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{10}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{10})}{42}$

Этап 10.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{10})$ .

$\frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{10})}{42}$

Этап 10.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $42$ .

$\frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{10})}{2 (21)}$

Этап 10.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{10})}{2 \cdot 21}$

Этап 10.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 + \sqrt{10}}{21}$

Этап 10.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sqrt{10}}{21}$

Этап 10.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{10}$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{10})}{21}$

Этап 10.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{10})$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{10})}{21}$

Этап 10.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1 - \sqrt{10}}{21}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1 - \sqrt{10}}{21}$

Десятичная форма:

$0.10296560 \dots$