Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} {(\frac{18 x}{18 x + 4})}^{5 x}$

Этап 1

Сократим общий множитель $18$ и $18 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $18 x$ .

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{18 x + 4})}^{5 x}$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18 x$ .

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x) + 4})}^{5 x}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x) + 2 (2)})}^{5 x}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (9 x) + 2 (2)$ .

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x + 2)})}^{5 x}$

Этап 1.2.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x + 2)})}^{5 x}$

Этап 1.2.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 8} {(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x})$ , вынося $5 x$ из логарифма.

$lim_{x \to 8} e^{5 x \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 8} 5 x \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

Этап 3.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

Этап 3.4

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{9 x}{9 x + 2})}$

Этап 3.5

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 lim_{x \to 8} \frac{x}{9 x + 2})}$

Этап 3.6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} 9 x + 2})}$

Этап 3.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 2})}$

Этап 3.8

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2})}$

Этап 3.9

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{9 lim_{x \to 8} x + 2})}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{9 lim_{x \to 8} x + 2})}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 lim_{x \to 8} x + 2})}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $5$ на $8$ .

$e^{40 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}$

Этап 5.2

Упростим $40 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})$ путем переноса $40$ под логарифм.

$e^{\ln ({(9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}^{40})}$

Этап 5.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}^{40}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $8$ и $9 \cdot 8 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

${(9 \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 8 + 2})}^{40}$

Этап 5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $9 \cdot 8$ .

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4) + 2})}^{40}$

Этап 5.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4) + 2 (1)})}^{40}$

Этап 5.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (9 \cdot 4) + 2 (1)$ .

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4 + 1)})}^{40}$

Этап 5.4.2.4

Сократим общий множитель.

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4 + 1)})}^{40}$

Этап 5.4.2.5

Перепишем это выражение.

${(9 \frac{4}{9 \cdot 4 + 1})}^{40}$

Этап 5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $9$ на $4$ .

${(9 \frac{4}{36 + 1})}^{40}$

Этап 5.5.2

Добавим $36$ и $1$ .

${(9 (\frac{4}{37}))}^{40}$

Этап 5.6

Умножим $9 (\frac{4}{37})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Объединим $9$ и $\frac{4}{37}$ .

${(\frac{9 \cdot 4}{37})}^{40}$

Этап 5.6.2

Умножим $9$ на $4$ .

${(\frac{36}{37})}^{40}$

Этап 5.7

Применим правило умножения к $\frac{36}{37}$ .

$\frac{36^{40}}{37^{40}}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{36^{40}}{37^{40}}$

Десятичная форма:

$0.33421894 \dots$