Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{e^{x} - \cos^{2} (x)}{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} e^{x} - \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} e^{x} - lim_{x \to 8} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - {(lim_{x \to 8} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - \cos^{2} (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{e^{8} - \cos^{2} (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{e^{8} - \cos^{2} (8)}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{e^{8} - \cos^{2} (8)}{8}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перепишем $e^{8}$ в виде ${(e^{4})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{4})}^{2} - \cos^{2} (8)}{8}$

Этап 7.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e^{4}$ и $b = \cos (8)$ .

$\frac{(e^{4} + \cos (8)) (e^{4} - \cos (8))}{8}$

Этап 7.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Найдем значение $\cos (8)$ .

$\frac{(e^{4} + 0.99026806) (e^{4} - \cos (8))}{8}$

Этап 7.1.3.2

Добавим $e^{4}$ и $0.99026806$ .

$\frac{55.5884181 (e^{4} - \cos (8))}{8}$

Этап 7.1.3.3

Найдем значение $\cos (8)$ .

$\frac{55.5884181 (e^{4} - 1 \cdot 0.99026806)}{8}$

Этап 7.1.3.4

Умножим $- 1$ на $0.99026806$ .

$\frac{55.5884181 (e^{4} - 0.99026806)}{8}$

Этап 7.1.3.5

Вычтем $0.99026806$ из $e^{4}$ .

$\frac{55.5884181 \cdot 53.60788196}{8}$

Этап 7.2

Умножим $55.5884181$ на $53.60788196$ .

$\frac{2979.97735619}{8}$

Этап 7.3

Разделим $2979.97735619$ на $8$ .

$372.49716952$