Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{5 e^{- 3 x} + e^{3 x}}{4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 e^{- 3 x} + e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 e^{- 3 x} + lim_{x \to 8} e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 8} e^{- 3 x} + lim_{x \to 8} e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Этап 4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{5 e^{lim_{x \to 8} - 3 x} + lim_{x \to 8} e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Этап 5

Вынесем член $- 3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Этап 6

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{lim_{x \to 8} 3 x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Этап 7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + lim_{x \to 8} 5 e^{3 x}}$

Этап 9

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 lim_{x \to 8} e^{- 3 x} + lim_{x \to 8} 5 e^{3 x}}$

Этап 10

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 e^{lim_{x \to 8} - 3 x} + lim_{x \to 8} 5 e^{3 x}}$

Этап 11

Вынесем член $- 3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 5 e^{3 x}}$

Этап 12

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + 5 lim_{x \to 8} e^{3 x}}$

Этап 13

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + 5 e^{lim_{x \to 8} 3 x}}$

Этап 14

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + 5 e^{3 lim_{x \to 8} x}}$

Этап 15

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 \cdot 8} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + 5 e^{3 lim_{x \to 8} x}}$

Этап 15.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 \cdot 8} + e^{3 \cdot 8}}{4 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + 5 e^{3 lim_{x \to 8} x}}$

Этап 15.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 \cdot 8} + e^{3 \cdot 8}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 lim_{x \to 8} x}}$

Этап 15.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 \cdot 8} + e^{3 \cdot 8}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Этап 16

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Умножим $- 3$ на $8$ .

$\frac{5 e^{- 24} + e^{3 \cdot 8}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Этап 16.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 \frac{1}{e^{24}} + e^{3 \cdot 8}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Этап 16.1.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{e^{24}}$ .

$\frac{\frac{5}{e^{24}} + e^{3 \cdot 8}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Этап 16.1.4

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{\frac{5}{e^{24}} + e^{24}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Этап 16.1.5

Чтобы записать $e^{24}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{24}}{e^{24}}$ .

$\frac{\frac{5}{e^{24}} + \frac{e^{24} e^{24}}{e^{24}}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Этап 16.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{5 + e^{24} e^{24}}{e^{24}}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Этап 16.1.7

Умножим $e^{24}$ на $e^{24}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.7.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{5 + e^{24 + 24}}{e^{24}}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Этап 16.1.7.2

Добавим $24$ и $24$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Этап 16.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Умножим $- 3$ на $8$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{4 e^{- 24} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Этап 16.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{4 \frac{1}{e^{24}} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Этап 16.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{e^{24}}$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{\frac{4}{e^{24}} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Этап 16.2.4

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{\frac{4}{e^{24}} + 5 e^{24}}$

Этап 16.2.5

Чтобы записать $5 e^{24}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{24}}{e^{24}}$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{\frac{4}{e^{24}} + \frac{5 e^{24} e^{24}}{e^{24}}}$

Этап 16.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{\frac{4 + 5 e^{24} e^{24}}{e^{24}}}$

Этап 16.2.7

Умножим $e^{24}$ на $e^{24}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.7.1

Перенесем $e^{24}$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{\frac{4 + 5 (e^{24} e^{24})}{e^{24}}}$

Этап 16.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{\frac{4 + 5 e^{24 + 24}}{e^{24}}}$

Этап 16.2.7.3

Добавим $24$ и $24$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{\frac{4 + 5 e^{48}}{e^{24}}}$

Этап 16.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{5 + e^{48}}{e^{24}} \cdot \frac{e^{24}}{4 + 5 e^{48}}$

Этап 16.4

Сократим общий множитель $e^{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 + e^{48}}{e^{24}} \cdot \frac{e^{24}}{4 + 5 e^{48}}$

Этап 16.4.2

Перепишем это выражение.

$(5 + e^{48}) \frac{1}{4 + 5 e^{48}}$

Этап 16.5

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \frac{1}{4 + 5 e^{48}} + e^{48} \frac{1}{4 + 5 e^{48}}$

Этап 16.6

Объединим $5$ и $\frac{1}{4 + 5 e^{48}}$ .

$\frac{5}{4 + 5 e^{48}} + e^{48} \frac{1}{4 + 5 e^{48}}$

Этап 16.7

Объединим $e^{48}$ и $\frac{1}{4 + 5 e^{48}}$ .

$\frac{5}{4 + 5 e^{48}} + \frac{e^{48}}{4 + 5 e^{48}}$

Этап 16.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 + e^{48}}{4 + 5 e^{48}}$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5 + e^{48}}{4 + 5 e^{48}}$

Десятичная форма:

$0.2$