Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \ln (x^{2} - 1) - \ln (3 x^{2} + 3 x)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \ln (x^{2} - 1) - lim_{x \to 8} \ln (3 x^{2} + 3 x)$

Этап 2

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (lim_{x \to 8} x^{2} - 1) - lim_{x \to 8} \ln (3 x^{2} + 3 x)$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\ln (lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 1) - lim_{x \to 8} \ln (3 x^{2} + 3 x)$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 1) - lim_{x \to 8} \ln (3 x^{2} + 3 x)$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1) - lim_{x \to 8} \ln (3 x^{2} + 3 x)$

Этап 6

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1) - \ln (lim_{x \to 8} 3 x^{2} + 3 x)$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1) - \ln (lim_{x \to 8} 3 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x)$

Этап 8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1) - \ln (3 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x)$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1) - \ln (3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 3 x)$

Этап 10

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1) - \ln (3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 8} x)$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\ln (8^{2} - 1 \cdot 1) - \ln (3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 8} x)$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\ln (8^{2} - 1 \cdot 1) - \ln (3 \cdot 8^{2} + 3 lim_{x \to 8} x)$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\ln (8^{2} - 1 \cdot 1) - \ln (3 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8)$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8^{2} - 1 \cdot 1}{3 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8})$

Этап 12.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\ln (\frac{64 - 1 \cdot 1}{3 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8})$

Этап 12.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (\frac{64 - 1}{3 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8})$

Этап 12.2.3

Вычтем $1$ из $64$ .

$\ln (\frac{63}{3 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8})$

Этап 12.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\ln (\frac{63}{3 \cdot 64 + 3 \cdot 8})$

Этап 12.3.2

Умножим $3$ на $64$ .

$\ln (\frac{63}{192 + 3 \cdot 8})$

Этап 12.3.3

Умножим $3$ на $8$ .

$\ln (\frac{63}{192 + 24})$

Этап 12.3.4

Добавим $192$ и $24$ .

$\ln (\frac{63}{216})$

Этап 12.4

Сократим общий множитель $63$ и $216$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Вынесем множитель $9$ из $63$ .

$\ln (\frac{9 (7)}{216})$

Этап 12.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Вынесем множитель $9$ из $216$ .

$\ln (\frac{9 \cdot 7}{9 \cdot 24})$

Этап 12.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{9 \cdot 7}{9 \cdot 24})$

Этап 12.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{7}{24})$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (\frac{7}{24})$

Десятичная форма:

$- 1.23214368 \dots$