Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} 729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Этап 1

Найдем предел $729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $n$ из $2 n^{3} + 3 n^{2} + n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Вынесем множитель $n$ из $2 n^{3}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Этап 2.1.1.1.2

Вынесем множитель $n$ из $3 n^{2}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n}{6 n^{3}}$

Этап 2.1.1.1.3

Возведем $n$ в степень $1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n^{1}}{6 n^{3}}$

Этап 2.1.1.1.4

Вынесем множитель $n$ из $n^{1}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

Этап 2.1.1.1.5

Вынесем множитель $n$ из $n (2 n^{2}) + n (3 n)$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

Этап 2.1.1.1.6

Вынесем множитель $n$ из $n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n + 1)}{6 n^{3}}$

Этап 2.1.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 n$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 (n) + 1)}{6 n^{3}}$

Этап 2.1.1.2.1.2

Запишем $3$ как $1$ плюс $2$

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + (1 + 2) n + 1)}{6 n^{3}}$

Этап 2.1.1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 1 n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Этап 2.1.1.2.1.4

Умножим $n$ на $1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Этап 2.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$729 - 729 \frac{n ((2 n^{2} + n) + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Этап 2.1.1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$729 - 729 \frac{n (n (2 n + 1) + 1 (2 n + 1))}{6 n^{3}}$

Этап 2.1.1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 n + 1$ .

$729 - 729 \frac{n ((2 n + 1) (n + 1))}{6 n^{3}}$

$729 - 729 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 729$ .

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $6 n^{3}$ .

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

Этап 2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$729 + 3 \cdot - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

Этап 2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$729 - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$

Этап 2.1.3

Объединим $- 243$ и $\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$ .

$729 + \frac{- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{3}}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $n$ и $n^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $n$ из $- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))$ .

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{2 n^{3}}$

Этап 2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вынесем множитель $n$ из $2 n^{3}$ .

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

Этап 2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

Этап 2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$729 + \frac{- 243 ((2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Этап 2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$729 - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.2

Чтобы записать $729$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ .

$729 \cdot \frac{2 n^{2}}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.3

Объединим $729$ и $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ .

$\frac{729 (2 n^{2})}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{729 (2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $243$ из $729 \cdot 2 n^{2} - 243 (2 n + 1) (n + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $243$ из $729 \cdot 2 n^{2}$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.1.2

Вынесем множитель $243$ из $- 243 (2 n + 1) (n + 1)$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.1.3

Вынесем множитель $243$ из $243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{243 (6 n^{2} + (- (2 n) - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.6

Развернем $(- 2 n - 1) (n + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n (n + 1) - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1.1

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1.1.1

Перенесем $n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 (n \cdot n) - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.7.1.1.2

Умножим $n$ на $n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.7.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.7.1.3

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.7.2

Вычтем $n$ из $- 2 n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.8

Вычтем $2 n^{2}$ из $6 n^{2}$ .

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.9.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.9.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 n$ .

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 (n) - 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.9.1.2

Запишем $- 3$ как $1$ плюс $- 4$

$\frac{243 (4 n^{2} + (1 - 4) n - 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{243 (4 n^{2} + 1 n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.9.1.4

Умножим $n$ на $1$ .

$\frac{243 (4 n^{2} + n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.9.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.9.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{243 ((4 n^{2} + n) - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.9.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{243 (n (4 n + 1) - (4 n + 1))}{2 n^{2}}$

Этап 2.5.9.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 n + 1$ .

$\frac{243 ((4 n + 1) (n - 1))}{2 n^{2}}$

$\frac{243 (4 n + 1) (n - 1)}{2 n^{2}}$