Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 5 x} - \sqrt{x^{2} - 3 x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 3 x}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 3 x}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 3 x}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 3 x}$

Этап 5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 3 x}$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} - 3 x}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 3 x}$

Этап 9

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{8^{2} + 5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{8^{2} + 5 \cdot 8} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{8^{2} + 5 \cdot 8} - \sqrt{8^{2} - 3 lim_{x \to 8} x}$

Этап 10.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{8^{2} + 5 \cdot 8} - \sqrt{8^{2} - 3 \cdot 8}$

Этап 11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{64 + 5 \cdot 8} - \sqrt{8^{2} - 3 \cdot 8}$

Этап 11.2

Умножим $5$ на $8$ .

$\sqrt{64 + 40} - \sqrt{8^{2} - 3 \cdot 8}$

Этап 11.3

Добавим $64$ и $40$ .

$\sqrt{104} - \sqrt{8^{2} - 3 \cdot 8}$

Этап 11.4

Перепишем $104$ в виде $2^{2} \cdot 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Вынесем множитель $4$ из $104$ .

$\sqrt{4 (26)} - \sqrt{8^{2} - 3 \cdot 8}$

Этап 11.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 26} - \sqrt{8^{2} - 3 \cdot 8}$

Этап 11.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{26} - \sqrt{8^{2} - 3 \cdot 8}$

Этап 11.6

Возведем $8$ в степень $2$ .

$2 \sqrt{26} - \sqrt{64 - 3 \cdot 8}$

Этап 11.7

Умножим $- 3$ на $8$ .

$2 \sqrt{26} - \sqrt{64 - 24}$

Этап 11.8

Вычтем $24$ из $64$ .

$2 \sqrt{26} - \sqrt{40}$

Этап 11.9

Перепишем $40$ в виде $2^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1

Вынесем множитель $4$ из $40$ .

$2 \sqrt{26} - \sqrt{4 (10)}$

Этап 11.9.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \sqrt{26} - \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Этап 11.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{26} - (2 \sqrt{10})$

Этап 11.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \sqrt{26} - 2 \sqrt{10}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \sqrt{26} - 2 \sqrt{10}$

Десятичная форма:

$3.87348370 \dots$