Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - \ln ({(x)}^{x})$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Этап 1.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (lim_{x \to 8} {(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(x + 1)}^{x}$ в виде $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ .

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(x + 1)}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Этап 3.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Этап 3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Этап 3.6

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} {(x)}^{x})$

Этап 4

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(x)}^{x}$ в виде $e^{\ln ({(x)}^{x})}$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x)}^{x})})$

Этап 4.2

Развернем $\ln ({(x)}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x)})$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x)})$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Этап 5.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Этап 6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Этап 6.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (8)})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}}{e^{8 \cdot \ln (8)}})$

Этап 7.2

Перенесем $e^{8 \cdot \ln (8)}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} e^{- 8 \cdot \ln (8)})$

Этап 7.3

Умножим $e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}$ на $e^{- 8 \cdot \ln (8)}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)})$

Этап 7.3.2

Добавим $8$ и $1$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (9) - 8 \cdot \ln (8)})$

Этап 7.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Упростим $8 \ln (9)$ путем переноса $8$ под логарифм.

$\ln (e^{\ln (9^{8}) - 8 \cdot \ln (8)})$

Этап 7.3.3.2

Возведем $9$ в степень $8$ .

$\ln (e^{\ln (43046721) - 8 \cdot \ln (8)})$

Этап 7.3.3.3

Упростим $- 8 \ln (8)$ путем переноса $8$ под логарифм.

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (8^{8})})$

Этап 7.3.3.4

Возведем $8$ в степень $8$ .

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (16777216)})$

Этап 7.3.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (e^{\ln (\frac{43046721}{16777216})})$

Этап 7.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ из степени.

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \ln (e)$

Этап 7.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \cdot 1$

Этап 7.6

Умножим $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ на $1$ .

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

Десятичная форма:

$0.94226428 \dots$