Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{3 e^{\frac{5}{x}} - 3}{π - 2 \arctan (x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 e^{\frac{5}{x}} - 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 e^{\frac{5}{x}} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} e^{\frac{5}{x}} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Этап 4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{3 e^{lim_{x \to 8} \frac{5}{x}} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Этап 5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 e^{5 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 e^{5 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{3 e^{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Этап 8

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{3 e^{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 e^{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} π - lim_{x \to 8} 2 \arctan (x)}$

Этап 10

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{3 e^{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - 1 \cdot 3}{π - lim_{x \to 8} 2 \arctan (x)}$

Этап 11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 e^{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - 1 \cdot 3}{π - 2 lim_{x \to 8} \arctan (x)}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 e^{5 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 3}{π - 2 lim_{x \to 8} \arctan (x)}$

Этап 12.2

Найдем предел $\arctan (x)$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 e^{5 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 3}{π - 2 \arctan (8)}$

Этап 12.3

Найдем значение $\arctan (8)$ .

$\frac{3 e^{5 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 3}{π - 2 \cdot 1.44644133}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3 e^{\frac{5}{8}} - 1 \cdot 3}{π - 2 \cdot 1.44644133}$

Этап 13.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 e^{\frac{5}{8}} - 3}{π - 2 \cdot 1.44644133}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $- 2$ на $1.44644133$ .

$\frac{3 e^{\frac{5}{8}} - 3}{π - 2.89288266}$

Этап 13.2.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$\frac{3 e^{\frac{5}{8}} - 3}{3.14159265 - 2.89288266}$

Этап 13.2.3

Вычтем $2.89288266$ из $3.14159265$ .

$\frac{3 e^{\frac{5}{8}} - 3}{0.24870998}$

Этап 13.3

Заменим $e$ приближением.

$\frac{3 \cdot {2.71828182}^{\frac{5}{8}} - 3}{0.24870998}$

Этап 13.4

Разделим $5$ на $8$ .

$\frac{3 \cdot {2.71828182}^{0.625} - 3}{0.24870998}$

Этап 13.5

Возведем $2.71828182$ в степень $0.625$ .

$\frac{3 \cdot 1.86824595 - 3}{0.24870998}$

Этап 13.6

Умножим $3$ на $1.86824595$ .

$\frac{5.60473787 - 3}{0.24870998}$

Этап 13.7

Вычтем $3$ из $5.60473787$ .

$\frac{2.60473787}{0.24870998}$

Этап 13.8

Разделим $2.60473787$ на $0.24870998$ .

$10.47299258$