Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{(3 x + 1) (2 x - 3)}{(5 x - 2) (x + 4)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} (3 x + 1) (2 x - 3)}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x + 1 \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Этап 8

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} 5 x - 2 \cdot lim_{x \to 8} x + 4}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(lim_{x \to 8} 5 x - lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} x + 4}$

Этап 11

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(5 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} x + 4}$

Этап 12

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 8} x + 4}$

Этап 13

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 4)}$

Этап 14

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} x + 4)}$

Этап 15

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} x + 4)}$

Этап 15.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} x + 4)}$

Этап 15.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(5 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} x + 4)}$

Этап 15.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(5 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (8 + 4)}$

Этап 16

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{(24 + 1) (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(5 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (8 + 4)}$

Этап 16.1.2

Добавим $24$ и $1$ .

$\frac{25 (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(5 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (8 + 4)}$

Этап 16.1.3

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{25 (16 - 1 \cdot 3)}{(5 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (8 + 4)}$

Этап 16.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{25 (16 - 3)}{(5 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (8 + 4)}$

Этап 16.1.5

Вычтем $3$ из $16$ .

$\frac{25 \cdot 13}{(5 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (8 + 4)}$

Этап 16.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{25 \cdot 13}{(40 - 1 \cdot 2) (8 + 4)}$

Этап 16.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{25 \cdot 13}{(40 - 2) (8 + 4)}$

Этап 16.2.3

Вычтем $2$ из $40$ .

$\frac{25 \cdot 13}{38 (8 + 4)}$

Этап 16.2.4

Добавим $8$ и $4$ .

$\frac{25 \cdot 13}{38 \cdot 12}$

Этап 16.3

Умножим $25$ на $13$ .

$\frac{325}{38 \cdot 12}$

Этап 16.4

Умножим $38$ на $12$ .

$\frac{325}{456}$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{325}{456}$

Десятичная форма:

$0.71271929 \dots$