Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{9 x^{6} - x}{(x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Этап 3

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{9 lim_{x \to - 8} x^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Этап 4

Вынесем степень $6$ в выражении $x^{6}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} x^{3} + 1 \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{(lim_{x \to - 8} x^{3} + lim_{x \to - 8} 1) \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

Этап 7

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} 1) \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

Этап 9

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - x}}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 11

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 lim_{x \to - 8} x^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 12

Вынесем степень $6$ в выражении $x^{6}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 13.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 13.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 13.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $- 8$ в степень $6$ .

$\frac{9 \cdot 262144 + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Этап 14.1.2

Умножим $9$ на $262144$ .

$\frac{2359296 + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Этап 14.1.3

Добавим $2359296$ и $8$ .

$\frac{2359304}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Возведем $- 8$ в степень $3$ .

$\frac{2359304}{(- 512 + 1) \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Этап 14.2.2

Добавим $- 512$ и $1$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Этап 14.2.3

Возведем $- 8$ в степень $6$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{9 \cdot 262144 + 8}}$

Этап 14.2.4

Умножим $9$ на $262144$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{2359296 + 8}}$

Этап 14.2.5

Добавим $2359296$ и $8$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{2359304}}$

Этап 14.2.6

Перепишем $2359304$ в виде $2^{2} \cdot 589826$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $2359304$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{4 (589826)}}$

Этап 14.2.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{2^{2} \cdot 589826}}$

Этап 14.2.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2359304}{- 511 \cdot 2 \sqrt{589826}}$

Этап 14.2.8

Умножим $- 511$ на $2$ .

$\frac{2359304}{- 1022 \sqrt{589826}}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $2359304$ и $- 1022$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2359304$ .

$\frac{2 (1179652)}{- 1022 \sqrt{589826}}$

Этап 14.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 1022 \sqrt{589826}$ .

$\frac{2 (1179652)}{2 (- 511 \sqrt{589826})}$

Этап 14.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1179652}{2 (- 511 \sqrt{589826})}$

Этап 14.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1179652}{- 511 \sqrt{589826}}$

Этап 14.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1179652}{511 \sqrt{589826}}$

Этап 14.5

Умножим $\frac{1179652}{511 \sqrt{589826}}$ на $\frac{\sqrt{589826}}{\sqrt{589826}}$ .

$- (\frac{1179652}{511 \sqrt{589826}} \cdot \frac{\sqrt{589826}}{\sqrt{589826}})$

Этап 14.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Умножим $\frac{1179652}{511 \sqrt{589826}}$ на $\frac{\sqrt{589826}}{\sqrt{589826}}$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \sqrt{589826} \sqrt{589826}}$

Этап 14.6.2

Перенесем $\sqrt{589826}$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 (\sqrt{589826} \sqrt{589826})}$

Этап 14.6.3

Возведем $\sqrt{589826}$ в степень $1$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 ({\sqrt{589826}}^{1} \sqrt{589826})}$

Этап 14.6.4

Возведем $\sqrt{589826}$ в степень $1$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 ({\sqrt{589826}}^{1} {\sqrt{589826}}^{1})}$

Этап 14.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 {\sqrt{589826}}^{1 + 1}}$

Этап 14.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 {\sqrt{589826}}^{2}}$

Этап 14.6.7

Перепишем ${\sqrt{589826}}^{2}$ в виде $589826$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{589826}$ в виде $589826^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 {(589826^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 14.6.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 14.6.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{\frac{2}{2}}}$

Этап 14.6.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.7.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{\frac{2}{2}}}$

Этап 14.6.7.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{1}}$

Этап 14.6.7.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826}$

Этап 14.7

Сократим общий множитель $1179652$ и $589826$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1

Вынесем множитель $589826$ из $1179652 \sqrt{589826}$ .

$- \frac{589826 (2 \sqrt{589826})}{511 \cdot 589826}$

Этап 14.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.2.1

Вынесем множитель $589826$ из $511 \cdot 589826$ .

$- \frac{589826 (2 \sqrt{589826})}{589826 \cdot 511}$

Этап 14.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{589826 (2 \sqrt{589826})}{589826 \cdot 511}$

Этап 14.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 \sqrt{589826}}{511}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{2 \sqrt{589826}}{511}$

Десятичная форма:

$- 3.00587593 \dots$