Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{- 8 x - 9}{\sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} - 8 x - 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{- lim_{x \to 8} 8 x - lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Этап 3

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Этап 4

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 9 x + 5}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 5}}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 5}}$

Этап 8

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5}}$

Этап 9

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 8 - 1 \cdot 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 8 - 1 \cdot 9}{\sqrt{8^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 8 - 1 \cdot 9}{\sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 5}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $- 8$ на $8$ .

$\frac{- 64 - 1 \cdot 9}{\sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 5}}$

Этап 11.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{- 64 - 9}{\sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 5}}$

Этап 11.1.3

Вычтем $9$ из $- 64$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 5}}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{64 + 9 \cdot 8 + 5}}$

Этап 11.2.2

Умножим $9$ на $8$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{64 + 72 + 5}}$

Этап 11.2.3

Добавим $64$ и $72$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{136 + 5}}$

Этап 11.2.4

Добавим $136$ и $5$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{141}}$

Этап 11.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{73}{\sqrt{141}}$

Этап 11.4

Умножим $\frac{73}{\sqrt{141}}$ на $\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{141}}$ .

$- (\frac{73}{\sqrt{141}} \cdot \frac{\sqrt{141}}{\sqrt{141}})$

Этап 11.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Умножим $\frac{73}{\sqrt{141}}$ на $\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{141}}$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{\sqrt{141} \sqrt{141}}$

Этап 11.5.2

Возведем $\sqrt{141}$ в степень $1$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{\sqrt{141}}^{1} \sqrt{141}}$

Этап 11.5.3

Возведем $\sqrt{141}$ в степень $1$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{\sqrt{141}}^{1} {\sqrt{141}}^{1}}$

Этап 11.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{\sqrt{141}}^{1 + 1}}$

Этап 11.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{\sqrt{141}}^{2}}$

Этап 11.5.6

Перепишем ${\sqrt{141}}^{2}$ в виде $141$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{141}$ в виде $141^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{(141^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 11.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 11.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141^{1}}$

Этап 11.5.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141}$

Десятичная форма:

$- 6.14770902 \dots$