Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{7 x}{\sqrt{81 x^{2} + 4}}$

Этап 1

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$7 lim_{x \to 8} \frac{x}{\sqrt{81 x^{2} + 4}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$7 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{81 x^{2} + 4}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$7 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 81 x^{2} + 4}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$7 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 81 x^{2} + lim_{x \to 8} 4}}$

Этап 5

Вынесем член $81$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$7 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{81 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 4}}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$7 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 4}}$

Этап 7

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$7 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 4}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$7 \frac{8}{\sqrt{81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 4}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$7 \frac{8}{\sqrt{81 \cdot 8^{2} + 4}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$7 \frac{8}{\sqrt{81 \cdot 64 + 4}}$

Этап 9.1.2

Умножим $81$ на $64$ .

$7 \frac{8}{\sqrt{5184 + 4}}$

Этап 9.1.3

Добавим $5184$ и $4$ .

$7 \frac{8}{\sqrt{5188}}$

Этап 9.1.4

Перепишем $5188$ в виде $2^{2} \cdot 1297$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $5188$ .

$7 \frac{8}{\sqrt{4 (1297)}}$

Этап 9.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$7 \frac{8}{\sqrt{2^{2} \cdot 1297}}$

Этап 9.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$7 \frac{8}{2 \sqrt{1297}}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$7 \frac{2 \cdot 4}{2 \sqrt{1297}}$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{1297}$ .

$7 \frac{2 \cdot 4}{2 (\sqrt{1297})}$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$7 \frac{2 \cdot 4}{2 \sqrt{1297}}$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$7 \frac{4}{\sqrt{1297}}$

Этап 9.3

Умножим $\frac{4}{\sqrt{1297}}$ на $\frac{\sqrt{1297}}{\sqrt{1297}}$ .

$7 (\frac{4}{\sqrt{1297}} \cdot \frac{\sqrt{1297}}{\sqrt{1297}})$

Этап 9.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{1297}}$ на $\frac{\sqrt{1297}}{\sqrt{1297}}$ .

$7 \frac{4 \sqrt{1297}}{\sqrt{1297} \sqrt{1297}}$

Этап 9.4.2

Возведем $\sqrt{1297}$ в степень $1$ .

$7 \frac{4 \sqrt{1297}}{{\sqrt{1297}}^{1} \sqrt{1297}}$

Этап 9.4.3

Возведем $\sqrt{1297}$ в степень $1$ .

$7 \frac{4 \sqrt{1297}}{{\sqrt{1297}}^{1} {\sqrt{1297}}^{1}}$

Этап 9.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 \frac{4 \sqrt{1297}}{{\sqrt{1297}}^{1 + 1}}$

Этап 9.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$7 \frac{4 \sqrt{1297}}{{\sqrt{1297}}^{2}}$

Этап 9.4.6

Перепишем ${\sqrt{1297}}^{2}$ в виде $1297$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1297}$ в виде $1297^{\frac{1}{2}}$ .

$7 \frac{4 \sqrt{1297}}{{(1297^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{4 \sqrt{1297}}{1297^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$7 \frac{4 \sqrt{1297}}{1297^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{4 \sqrt{1297}}{1297^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$7 \frac{4 \sqrt{1297}}{1297^{1}}$

Этап 9.4.6.5

Найдем экспоненту.

$7 \frac{4 \sqrt{1297}}{1297}$

Этап 9.5

Умножим $7 \frac{4 \sqrt{1297}}{1297}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Объединим $7$ и $\frac{4 \sqrt{1297}}{1297}$ .

$\frac{7 (4 \sqrt{1297})}{1297}$

Этап 9.5.2

Умножим $4$ на $7$ .

$\frac{28 \sqrt{1297}}{1297}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{28 \sqrt{1297}}{1297}$

Десятичная форма:

$0.77747788 \dots$