Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{(x - 2) (2 x - 3)}{(3 x + 2) (4 x - 1)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} (x - 2) (2 x - 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - 2 \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Этап 4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Этап 7

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} 3 x + 2 \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Этап 10

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Этап 11

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Этап 12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (lim_{x \to 8} 4 x - lim_{x \to 8} 1)}$

Этап 13

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1)}$

Этап 14

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 15

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 15.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 15.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 15.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Сократим общий множитель $8 - 1 \cdot 2$ и $3 \cdot 8 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$\frac{(- 1 (- 8) - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{(- 1 (- 8) - 1 (2)) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 8) - 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (- 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16.1.4

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (- 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{2 ((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1))}$

Этап 16.1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{2 ((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1))}$

Этап 16.1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{- 1 (- 4 + 1) (16 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 1 (- 4 + 1) (16 - 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16.2.2

Добавим $- 4$ и $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 3 (16 - 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16.2.3

Вычтем $3$ из $16$ .

$\frac{- 1 \cdot - 3 \cdot 13}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16.2.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{3 \cdot 13}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16.2.4.2

Умножим $3$ на $13$ .

$\frac{39}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{39}{(12 + 1) (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16.3.2

Добавим $12$ и $1$ .

$\frac{39}{13 (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16.3.3

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{39}{13 (32 - 1 \cdot 1)}$

Этап 16.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{39}{13 (32 - 1)}$

Этап 16.3.5

Вычтем $1$ из $32$ .

$\frac{39}{13 \cdot 31}$

Этап 16.4

Умножим $13$ на $31$ .

$\frac{39}{403}$

Этап 16.5

Сократим общий множитель $39$ и $403$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Вынесем множитель $13$ из $39$ .

$\frac{13 (3)}{403}$

Этап 16.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.2.1

Вынесем множитель $13$ из $403$ .

$\frac{13 \cdot 3}{13 \cdot 31}$

Этап 16.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{13 \cdot 3}{13 \cdot 31}$

Этап 16.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{31}$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{31}$

Десятичная форма:

$0.09677419 \dots$