Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{(6 x - 2) (2 x - 3)}{(3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} (6 x - 2) (2 x - 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x - 2 \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} 6 x - lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Этап 4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Этап 5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Этап 8

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} 3 x + 2 \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1 \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1 \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Этап 11

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1 \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Этап 12

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1 \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Этап 13

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (lim_{x \to 8} 4 x - lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Этап 14

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Этап 15

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Этап 16

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1)}$

Этап 17

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 18

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(6 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 18.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(6 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 18.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(6 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 18.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(6 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 18.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(6 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Сократим общий множитель $6 \cdot 8 - 1 \cdot 2$ и $3 \cdot 8 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $6 \cdot 8$ .

$\frac{(- (- 6 \cdot 8) - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{(- (- 6 \cdot 8) - 1 (2)) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 6 \cdot 8) - 1 (2)$ .

$\frac{- (- 6 \cdot 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.1.4

Перепишем $- (- 6 \cdot 8 + 2)$ в виде $- 1 (- 6 \cdot 8 + 2)$ .

$\frac{- 1 (- 6 \cdot 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.1.5

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (- 6 \cdot 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{2 (((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)) \cdot (8 - 1 \cdot 1))}$

Этап 19.1.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{2 (((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)) \cdot (8 - 1 \cdot 1))}$

Этап 19.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (- 3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Умножим $- 3$ на $8$ .

$\frac{- 1 (- 24 + 1) (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.2.1.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{- 1 (- 24 + 1) (16 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.2.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 1 (- 24 + 1) (16 - 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.2.2

Добавим $- 24$ и $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 23 (16 - 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.2.3

Вычтем $3$ из $16$ .

$\frac{- 1 \cdot - 23 \cdot 13}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.2.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 23$ .

$\frac{23 \cdot 13}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.2.4.2

Умножим $23$ на $13$ .

$\frac{299}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{299}{(12 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.3.2

Добавим $12$ и $1$ .

$\frac{299}{13 \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.3.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.3.1

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{299}{13 \cdot (32 - 1 \cdot 1) (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.3.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{299}{13 \cdot (32 - 1) (8 - 1 \cdot 1)}$

Этап 19.3.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{299}{13 \cdot (32 - 1) (8 - 1)}$

Этап 19.3.4

Вычтем $1$ из $32$ .

$\frac{299}{13 \cdot 31 (8 - 1)}$

Этап 19.3.5

Вычтем $1$ из $8$ .

$\frac{299}{13 \cdot 31 \cdot 7}$

Этап 19.3.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.6.1

Умножим $13$ на $31$ .

$\frac{299}{403 \cdot 7}$

Этап 19.3.6.2

Умножим $403$ на $7$ .

$\frac{299}{2821}$

Этап 19.4

Сократим общий множитель $299$ и $2821$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Вынесем множитель $13$ из $299$ .

$\frac{13 (23)}{2821}$

Этап 19.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.1

Вынесем множитель $13$ из $2821$ .

$\frac{13 \cdot 23}{13 \cdot 217}$

Этап 19.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{13 \cdot 23}{13 \cdot 217}$

Этап 19.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{23}{217}$

Этап 20

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{23}{217}$

Десятичная форма:

$0.10599078 \dots$