Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{4 x - 1}{2 \sqrt{x^{2} - 1}}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - 8} \frac{4 x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 8} 4 x - 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} - 1}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 8} 4 x - lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} - 1}}$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} - 1}}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} - 1}}$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} - 1}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} - lim_{x \to - 8} 1}}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - lim_{x \to - 8} 1}}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot - 8 - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot - 8 - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $4$ на $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 32 - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 11.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 32 - 1}{\sqrt{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 11.1.3

Вычтем $1$ из $- 32$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 33}{\sqrt{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 33}{\sqrt{64 - 1 \cdot 1}}$

Этап 11.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 33}{\sqrt{64 - 1}}$

Этап 11.2.3

Вычтем $1$ из $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 33}{\sqrt{63}}$

Этап 11.2.4

Перепишем $63$ в виде $3^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Вынесем множитель $9$ из $63$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 33}{\sqrt{9 (7)}}$

Этап 11.2.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 33}{\sqrt{3^{2} \cdot 7}}$

Этап 11.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 33}{3 \sqrt{7}}$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $- 33$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 33$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot - 11}{3 \sqrt{7}}$

Этап 11.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{7}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot - 11}{3 (\sqrt{7})}$

Этап 11.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot - 11}{3 \sqrt{7}}$

Этап 11.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 11}{\sqrt{7}}$

Этап 11.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (- \frac{11}{\sqrt{7}})$

Этап 11.5

Умножим $\frac{11}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{11}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}))$

Этап 11.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Умножим $\frac{11}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Этап 11.6.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})$

Этап 11.6.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})$

Этап 11.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

Этап 11.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})$

Этап 11.6.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 11.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 11.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

Этап 11.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

Этап 11.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{7^{1}})$

Этап 11.6.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{7})$

Этап 11.7

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{11 \sqrt{7}}{7}$ .

$- \frac{11 \sqrt{7}}{2 \cdot 7}$

Этап 11.7.2

Умножим $2$ на $7$ .

$- \frac{11 \sqrt{7}}{14}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{11 \sqrt{7}}{14}$

Десятичная форма:

$- 2.07880460 \dots$