Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{3 x^{2}}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{x^{2}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 1}}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 1}}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Этап 5

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 1}}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 1}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{8^{4} + 1}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{8^{4} + 1}}{8^{2}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим.

$\frac{1 \sqrt{8^{4} + 1}}{3 \cdot 8^{2}}$

Этап 9.2

Умножим $\sqrt{8^{4} + 1}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} + 1}}{3 \cdot 8^{2}}$

Этап 9.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} + 1}}{3 \cdot 64}$

Этап 9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 1}}{3 \cdot 64}$

Этап 9.4.2

Добавим $4096$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{4097}}{3 \cdot 64}$

Этап 9.5

Умножим $3$ на $64$ .

$\frac{\sqrt{4097}}{192}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{4097}}{192}$

Десятичная форма:

$0.33337402 \dots$