Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{25 x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{25 x + 2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x + 2}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 25 x + 2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x + 2}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 25 x + lim_{x \to 8} 2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x + 2}}$

Этап 4

Вынесем член $25$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{25 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x + 2}}$

Этап 5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{25 lim_{x \to 8} x + 2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x + 2}}$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{25 lim_{x \to 8} x + 2}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x + 2}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{25 lim_{x \to 8} x + 2}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}}$

Этап 8

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{25 lim_{x \to 8} x + 2}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x + 2}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 8 + 2}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x + 2}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 8 + 2}}{\sqrt{8 + 2}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\sqrt{25 \cdot 8 + 2}$ и $\sqrt{8 + 2}$ под одним знаком корня.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 8 + 2}{8 + 2}}$

Этап 10.2

Умножим $25$ на $8$ .

$\sqrt{\frac{200 + 2}{8 + 2}}$

Этап 10.3

Добавим $200$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{202}{8 + 2}}$

Этап 10.4

Добавим $8$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{202}{10}}$

Этап 10.5

Сократим общий множитель $202$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $2$ из $202$ .

$\sqrt{\frac{2 (101)}{10}}$

Этап 10.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 101}{2 \cdot 5}}$

Этап 10.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 101}{2 \cdot 5}}$

Этап 10.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{101}{5}}$

Этап 10.6

Перепишем $\sqrt{\frac{101}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{101}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{101}}{\sqrt{5}}$

Этап 10.7

Умножим $\frac{\sqrt{101}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{101}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 10.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{101}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{101} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 10.8.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{101} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 10.8.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{101} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 10.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{101} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 10.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{101} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 10.8.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{101} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{101} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{101} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{101} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{101} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 10.8.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{101} \sqrt{5}}{5}$

Этап 10.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{101 \cdot 5}}{5}$

Этап 10.9.2

Умножим $101$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{505}}{5}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{505}}{5}$

Десятичная форма:

$4.49444101 \dots$