Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{25 x^{2} - 4}}{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{25 x^{2} - 4}}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 25 x^{2} - 4}}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 25 x^{2} - lim_{x \to 8} 4}}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Этап 4

Вынесем член $25$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{25 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4}}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4}}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Этап 6

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Этап 7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 5}}$

Этап 9

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 5}}$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 5}}$

Этап 11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5}}$

Этап 12

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Этап 13.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 64 - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Этап 14.1.2

Умножим $25$ на $64$ .

$\frac{\sqrt{1600 - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Этап 14.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{1600 - 4}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Этап 14.1.4

Вычтем $4$ из $1600$ .

$\frac{\sqrt{1596}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Этап 14.1.5

Перепишем $1596$ в виде $2^{2} \cdot 399$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $1596$ .

$\frac{\sqrt{4 (399)}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Этап 14.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 399}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Этап 14.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{399}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{2 \sqrt{399}}{\sqrt{9 \cdot 64 + 2 \cdot 8 + 5}}$

Этап 14.2.2

Умножим $9$ на $64$ .

$\frac{2 \sqrt{399}}{\sqrt{576 + 2 \cdot 8 + 5}}$

Этап 14.2.3

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{2 \sqrt{399}}{\sqrt{576 + 16 + 5}}$

Этап 14.2.4

Добавим $576$ и $16$ .

$\frac{2 \sqrt{399}}{\sqrt{592 + 5}}$

Этап 14.2.5

Добавим $592$ и $5$ .

$\frac{2 \sqrt{399}}{\sqrt{597}}$

Этап 14.3

Объединим $\sqrt{399}$ и $\sqrt{597}$ под одним знаком корня.

$2 \sqrt{\frac{399}{597}}$

Этап 14.4

Сократим общий множитель $399$ и $597$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Вынесем множитель $3$ из $399$ .

$2 \sqrt{\frac{3 (133)}{597}}$

Этап 14.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $597$ .

$2 \sqrt{\frac{3 \cdot 133}{3 \cdot 199}}$

Этап 14.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{\frac{3 \cdot 133}{3 \cdot 199}}$

Этап 14.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{\frac{133}{199}}$

Этап 14.5

Перепишем $\sqrt{\frac{133}{199}}$ в виде $\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{199}}$ .

$2 \frac{\sqrt{133}}{\sqrt{199}}$

Этап 14.6

Умножим $\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{199}}$ на $\frac{\sqrt{199}}{\sqrt{199}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{199}} \cdot \frac{\sqrt{199}}{\sqrt{199}})$

Этап 14.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1

Умножим $\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{199}}$ на $\frac{\sqrt{199}}{\sqrt{199}}$ .

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{\sqrt{199} \sqrt{199}}$

Этап 14.7.2

Возведем $\sqrt{199}$ в степень $1$ .

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{{\sqrt{199}}^{1} \sqrt{199}}$

Этап 14.7.3

Возведем $\sqrt{199}$ в степень $1$ .

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{{\sqrt{199}}^{1} {\sqrt{199}}^{1}}$

Этап 14.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{{\sqrt{199}}^{1 + 1}}$

Этап 14.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{{\sqrt{199}}^{2}}$

Этап 14.7.6

Перепишем ${\sqrt{199}}^{2}$ в виде $199$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{199}$ в виде $199^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{{(199^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 14.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{199^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 14.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{199^{\frac{2}{2}}}$

Этап 14.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{199^{\frac{2}{2}}}$

Этап 14.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{199^{1}}$

Этап 14.7.6.5

Найдем экспоненту.

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{199}$

Этап 14.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$2 \frac{\sqrt{133 \cdot 199}}{199}$

Этап 14.8.2

Умножим $133$ на $199$ .

$2 \frac{\sqrt{26467}}{199}$

Этап 14.9

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{26467}}{199}$ .

$\frac{2 \sqrt{26467}}{199}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt{26467}}{199}$

Десятичная форма:

$1.63504337 \dots$